2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$ (ただし、$a$は定数) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表す。 (2) $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は $x=2$ で最小値をとり、最大値は $\frac{17}{2}$ である。このとき、$a$ の値を求める。 (3) $a = \frac{1}{2}$ とする。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最小値が $-4$ であるような定数 $t$ の値を求める。ただし、$t > 0$ とする。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$ (ただし、$a$は定数) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表す。

(2) $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は $x=2$ で最小値をとり、最大値は $\frac{17}{2}$ である。このとき、$a$ の値を求める。

(3) $a = \frac{1}{2}$ とする。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最小値が $-4$ であるような定数 $t$ の値を求める。ただし、$t > 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) - 4a + 10$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 10$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 4a + 10$

よって、最大値は $2a^2 - 4a + 10$

(2) $f(x)$ は $x=2$ で最小値をとるので、軸 $x=a$ は区間 $[0,2]$ の外側にあるか、または $x=2$ が区間の端点である可能性があります。

$f(2) = -2(2)^2 + 4a(2) - 4a + 10 = -8 + 8a - 4a + 10 = 4a + 2$

$f(2)$ が最小値であるので、$a>2$または$a<0$。

最大値 $\frac{17}{2}$ は $x=0$ でとるか、または軸 $x=a$ でとるかのいずれかです。

i) $a>2$のとき、軸$x=a$が区間$[0,2]$の外側にあるので、$x=0$で最大値を取る。

$f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) - 4a + 10 = -4a + 10$

$-4a + 10 = \frac{17}{2}$

$-4a = \frac{17}{2} - 10 = \frac{17-20}{2} = -\frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{8}$

これは $a>2$ に矛盾します。

ii) $a<0$のとき、軸$x=a$が区間$[0,2]$の外側にあるので、$x=0$で最大値を取る。

$f(0) = -4a+10 = \frac{17}{2}$

$a = \frac{3}{8}$

これも $a<0$ に矛盾します。

軸が区間の中にある場合、$0<a<2$ であり、最大値は軸で取る。

$f(a) = 2a^2 - 4a + 10 = \frac{17}{2}$

$4a^2 - 8a + 20 = 17$

$4a^2 - 8a + 3 = 0$

$(2a-1)(2a-3) = 0$

$a = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

$f(2) = 4a + 2$

$a = \frac{1}{2}$のとき、$f(2) = 4(\frac{1}{2}) + 2 = 2 + 2 = 4$

$a = \frac{3}{2}$のとき、$f(2) = 4(\frac{3}{2}) + 2 = 6 + 2 = 8$

$f(a)=\frac{17}{2}=8.5$である。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、軸は $x = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 4(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - 4(\frac{1}{2}) + 10 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 2 + 10 = -\frac{1}{2} - 1 + 10 = \frac{-1-2+20}{2} = \frac{17}{2}$

$x=2$で最小値を取るので、

$f(0)>f(2)$

$f(0)=-4a+10$

$-4(\frac{1}{2}) + 10 = -2+10=8$

$f(2)=4(\frac{1}{2})+2=2+2=4$

$8>4$

$a = \frac{3}{2}$のとき

$f(0) = -4(\frac{3}{2}) + 10 = -6+10=4$

$f(2) = 4(\frac{3}{2}) + 2 = 6+2=8$

$4<8$となり、$x=2$で最小値を取らないので不適。

よって、$a = \frac{1}{2}$

(3) $a = \frac{1}{2}$のとき、$f(x) = -2x^2 + 2x - 2 + 10 = -2x^2 + 2x + 8$

平方完成すると、$f(x) = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{2}$

軸は $x = \frac{1}{2}$

$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最小値が $-4$ である。

$t>0$ なので区間は存在する。

軸 $x=\frac{1}{2}$ が区間 $-t \le x \le 2t$ に含まれている。

最小値は $x = -t$ または $x = 2t$ でとる。

$f(-t) = -2(-t)^2 + 2(-t) + 8 = -2t^2 - 2t + 8 = -4$

$2t^2 + 2t - 12 = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

$(t+3)(t-2) = 0$

$t = -3, 2$

$t>0$ より $t = 2$

$f(2t) = -2(2t)^2 + 2(2t) + 8 = -8t^2 + 4t + 8 = -4$

$8t^2 - 4t - 12 = 0$

$2t^2 - t - 3 = 0$

$(2t-3)(t+1) = 0$

$t = \frac{3}{2}, -1$

$t>0$ より $t = \frac{3}{2}$

軸$x=\frac{1}{2}$が区間$-t \le x \le 2t$に含まれる条件を確認。

$t=2$のとき、$-2 \le x \le 4$。軸は含まれる。

$t=\frac{3}{2}$のとき、$-\frac{3}{2} \le x \le 3$。軸は含まれる。

最小値は $-4$ でなければならない。

$f(2)=-2(4)+2(2)+8=-8+4+8=4$

$f(-2)=-2(4)-2(2)+8=-8-4+8=-4$

$f(-\frac{3}{2})=-2(\frac{9}{4})-2(\frac{3}{2})+8=-\frac{9}{2}-3+8=-\frac{9}{2}+5=\frac{1}{2}$

$f(3)=-2(9)+2(3)+8=-18+6+8=-4$

したがって、$t=\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2a^2 - 4a + 10$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $t = \frac{3}{2}$