問題82について、以下の問いに答えます。 (1) $a - b = \sqrt{3}$、 $ab = 1$を満たす正の数$a$, $b$があるとき、$a^2 + b^2$の値と、$a + b$の値をそれぞれ求めよ。 (2) $x = a^2 - \sqrt{7}b$, $y = b^2 - \sqrt{7}a$のとき、$x + y$の値と、$x - y$の値をそれぞれ求めよ。 (3) (2)のとき、$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題82について、以下の問いに答えます。

(1) $a - b = \sqrt{3}$、 $ab = 1$を満たす正の数$a$, $b$があるとき、$a^2 + b^2$の値と、$a + b$の値をそれぞれ求めよ。

(2) $x = a^2 - \sqrt{7}b$, $y = b^2 - \sqrt{7}a$のとき、$x + y$の値と、$x - y$の値をそれぞれ求めよ。

(3) (2)のとき、$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^2 + b^2$の値を求めます。

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$より、$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$となります。

$a - b = \sqrt{3}$, $ab = 1$を代入すると、

$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5$

次に、$a + b$の値を求めます。

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$より、$a + b = \sqrt{a^2 + 2ab + b^2}$となります。

$a^2 + b^2 = 5$, $ab = 1$を代入すると、

$(a + b)^2 = 5 + 2(1) = 7$

$a + b = \sqrt{7}$

ここで、$a$と$b$は正の数なので、$a + b > 0$となることに注意します。

(2)

$x + y = (a^2 - \sqrt{7}b) + (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 + b^2 - \sqrt{7}(a + b)$

(1)で求めた値を代入すると、$x + y = 5 - \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 5 - 7 = -2$

$x - y = (a^2 - \sqrt{7}b) - (b^2 - \sqrt{7}a) = a^2 - b^2 - \sqrt{7}(b - a) = (a + b)(a - b) + \sqrt{7}(a - b)$

$a + b = \sqrt{7}$, $a - b = \sqrt{3}$を代入すると、$x - y = \sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{7}\sqrt{3} = 2\sqrt{21}$

(3)

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x + y)(x - y)}{xy}$

$x = a^2 - \sqrt{7}b$、 $y = b^2 - \sqrt{7}a$を代入すると、$xy = (a^2 - \sqrt{7}b)(b^2 - \sqrt{7}a) = a^2b^2 - \sqrt{7}a^3 - \sqrt{7}b^3 + 7ab = (ab)^2 - \sqrt{7}(a^3 + b^3) + 7ab$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 3ab) = \sqrt{7}(7 - 3) = 4\sqrt{7}$

$xy = 1 - \sqrt{7}(4\sqrt{7}) + 7 = 8 - 28 = -20$

$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{(x + y)(x - y)}{xy} = \frac{(-2)(2\sqrt{21})}{-20} = \frac{-4\sqrt{21}}{-20} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + b^2 = 5$, $a + b = \sqrt{7}$

(2) $x + y = -2$, $x - y = 2\sqrt{21}$

(3) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{21}}{5}$