内閣支持率に関する世論調査の結果から、以下の5つの問いに答える問題です。 (1) 標本比率を求める。 (2) 標本平均を標準化した後の上限値を求める。 (3) 信頼限界の下限値を求める。 (4) 信頼限界の上限値を求める。 (5) 誤差1%以下で推定するために必要な標本の大きさを求める。

1. 問題の内容

内閣支持率に関する世論調査の結果から、以下の5つの問いに答える問題です。

(1) 標本比率を求める。

(2) 標本平均を標準化した後の上限値を求める。

(3) 信頼限界の下限値を求める。

(4) 信頼限界の上限値を求める。

(5) 誤差1%以下で推定するために必要な標本の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本比率:

標本比率 $\hat{p}$ は、支持者数/標本サイズで計算します。

$\hat{p} = \frac{1470}{2100} = 0.7$

(2) 標本平均を標準化した後の上限値：

信頼係数95%の場合、標準正規分布の両側5%点が $\pm 1.96$ であるため、上限値は1.96です。

(3) 信頼限界の下限値：

信頼区間の下限は次の式で計算します。

$\hat{p} - z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$\hat{p} = 0.7$, $n = 2100$, $z = 1.96$ です。

$0.7 - 1.96 \sqrt{\frac{0.7(1-0.7)}{2100}} = 0.7 - 1.96 \sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{2100}} = 0.7 - 1.96 \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = 0.7 - 1.96 \sqrt{0.0001} = 0.7 - 1.96 \times 0.01 = 0.7 - 0.0196 = 0.6804$

小数点第3位を四捨五入すると、$0.68$ になります。

(4) 信頼限界の上限値：

信頼区間の上限は次の式で計算します。

$\hat{p} + z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$\hat{p} = 0.7$, $n = 2100$, $z = 1.96$ です。

$0.7 + 1.96 \sqrt{\frac{0.7(1-0.7)}{2100}} = 0.7 + 1.96 \sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{2100}} = 0.7 + 1.96 \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = 0.7 + 1.96 \sqrt{0.0001} = 0.7 + 1.96 \times 0.01 = 0.7 + 0.0196 = 0.7196$

小数点第3位を四捨五入すると、$0.72$ になります。

(5) 必要な標本の大きさ：

必要な標本の大きさ $n$ は、誤差 $e$ に対して次の式で計算します。

$n = (\frac{z}{e})^2 \hat{p}(1-\hat{p})$

ここで、$e = 0.01$, $\hat{p} = 0.7$, $z = 1.96$ です。

$n = (\frac{1.96}{0.01})^2 \times 0.7 \times 0.3 = (196)^2 \times 0.21 = 38416 \times 0.21 = 8067.36$

整数値で解答する必要があるため、切り上げて $8068$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 0.7

(2) 1.960

(3) 0.68

(4) 0.72

(5) 8068