ある種子の発芽率は従来75%であった。品種改良した新しい種子300個をまいたところ、237個が発芽した。品種改良によって発芽率が上がったと言えるかどうか、有意水準5%で検定する問題です。

1. 問題の内容

ある種子の発芽率は従来75%であった。品種改良した新しい種子300個をまいたところ、237個が発芽した。品種改良によって発芽率が上がったと言えるかどうか、有意水準5%で検定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 仮説を立てる。

* 帰無仮説 $H_0$: 品種改良による発芽率は変わらない（$p = 0.75$）。

* 対立仮説 $H_1$: 品種改良による発芽率は上がった（$p > 0.75$）。

(2) 検定統計量を計算する。

標本における発芽率 $\hat{p}$ は、 $\hat{p} = \frac{237}{300} = 0.79$ です。

検定統計量 $Z$ は以下の式で計算されます。

$Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

ここで、$p = 0.75$、$n = 300$ なので、

$Z = \frac{0.79 - 0.75}{\sqrt{\frac{0.75(1-0.75)}{300}}} = \frac{0.04}{\sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{300}}} = \frac{0.04}{\sqrt{\frac{0.1875}{300}}} = \frac{0.04}{\sqrt{0.000625}} = \frac{0.04}{0.025} = 1.6$

(3) 臨界値を求める。

有意水準5%（片側検定）での臨界値 $z_{\alpha}$ は、標準正規分布表から $z_{0.05} \approx 1.645$ となります。

(4) 検定統計量と臨界値を比較する。

計算された検定統計量 $Z = 1.6$ と臨界値 $z_{\alpha} = 1.645$ を比較します。$Z < z_{\alpha}$ なので、帰無仮説は棄却できません。

(5) 結論を述べる。

帰無仮説は棄却されないため、品種改良によって発芽率が上がったとは言えません。

3. 最終的な答え

品種改良によって発芽率が上がったとは言えない。