1から6までの目が同じ割合で出る4個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めよ。 (1) 出る目が全て異なる確率 (2) 出る目の最小値が2、かつ最大値が3である確率 (3) 出る目の最大値と最小値の積が20以上である確率

1. 問題の内容

1から6までの目が同じ割合で出る4個のサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めよ。

(1) 出る目が全て異なる確率

(2) 出る目の最小値が2、かつ最大値が3である確率

(3) 出る目の最大値と最小値の積が20以上である確率

2. 解き方の手順

(1)

4個のサイコロの目が全て異なる確率を求める。

全事象は $6^4 = 1296$ 通り。

4個のサイコロの目が全て異なる場合は、6個の数字から4個を選び、それらを並べる順列となるので、

$6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

したがって、確率は $360 / 1296 = 5/18$。

(2)

4個のサイコロの最小値が2、かつ最大値が3である確率を求める。

このとき、出る目は2と3のみであり、少なくとも1つは2、少なくとも1つは3が出なければならない。

4個のサイコロの目が全て2か3である場合は $2^4 = 16$通り。

このうち、4個とも2である場合と4個とも3である場合を除く必要があるので、

$16 - 1 - 1 = 14$通り。

したがって、確率は $14/1296 = 7/648$。

(3)

4個のサイコロの最大値と最小値の積が20以上である確率を求める。

最大値と最小値の組み合わせを考える。積が20以上になるのは、

(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6)の組み合わせのときである。

(4, 5)のとき:

最小値が4、最大値が5である必要がある。つまり、4, 5のみで構成されており、少なくとも一つは4、少なくとも一つは5である必要がある。

$2^4 - 2 = 14$通り

(4, 6)のとき:

最小値が4、最大値が6である必要がある。つまり、4, 5, 6のみで構成されており、少なくとも一つは4、少なくとも一つは6が必要。

全体の場合の数は $3^4$ 通り。ここから4,5のみ, 5,6のみ, 4,5,6の中で5のみの場合を除く。

4,5のみは $2^4=16$通り, 5,6のみは $2^4=16$通り, 5のみは1通り。

4と6が必ず含まれる場合を考える。4,5,6の中から選ぶ時、少なくとも一つは4、少なくとも一つは6が必要。

$3^4 = 81$, 4,5のみ $2^4 = 16$, 5,6のみ $2^4 = 16$, 5のみ $1$.

$81 - (16+16-1) = 50$通り。4を含まずに6を含む場合：6のみ1通り、5,6のみ $2^4-1=15$通り

6を含まずに4を含む場合：4のみ1通り、4,5のみ $2^4-1=15$通り。

$3^4-2^4-2^4+1 = 81-16-16+1 = 50$通り。

ここで最小値が4かつ最大値が6。つまり4,5,6だけを使って、少なくとも1つは4が、少なくとも1つは6が必要。

$3^4-2^4-2^4+1=81-16-16+1 = 50$通り。

(5, 5)のとき:

全て5である必要があるので、1通り。

(5, 6)のとき:

最小値が5、最大値が6である必要がある。つまり、5, 6のみで構成されており、少なくとも1つは5、少なくとも1つは6が出なければならない。

$2^4 - 2 = 14$通り

(6, 6)のとき:

全て6である必要があるので、1通り。

合計: $14 + 50 + 1 + 14 + 1 = 80$通り

したがって、確率は $80/1296 = 5/81$。

3. 最終的な答え

(1) 5/18

(2) 7/648

(3) 5/81