袋の中に赤玉6個、白玉2個が入っている。 (1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻す、という試行を3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求める。 (2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉6個、白玉2個が入っている。

(1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻す、という試行を3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求める。

(2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

白玉が1回以上出る確率は、白玉が全く出ない確率を1から引くことで求められる。

1回の試行で赤玉が出る確率は $6/8 = 3/4$。

3回とも赤玉が出る確率は $(3/4)^3$。

したがって、白玉が1回以上出る確率は、 $1 - (3/4)^3$ で求められる。

計算すると、

$1 - (3/4)^3 = 1 - 27/64 = (64-27)/64 = 37/64$

(2)

少なくとも1個が白玉である確率は、すべて赤玉である確率を1から引くことで求められる。

3個の玉を取り出す方法の総数は $_8C_3$。

3個とも赤玉である取り出し方は $_6C_3$。

すべて赤玉である確率は $_6C_3 / _8C_3$。

したがって、少なくとも1個が白玉である確率は $1 - (_6C_3 / _8C_3)$ で求められる。

$_8C_3 = 8! / (3! 5!) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56$

$_6C_3 = 6! / (3! 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20$

$1 - (_6C_3 / _8C_3) = 1 - 20/56 = 1 - 5/14 = (14-5)/14 = 9/14$

3. 最終的な答え

(1) $37/64$

(2) $9/14$