赤玉4個、白玉11個が入っている袋から玉を1個取り出して元に戻すことを $n$ 回繰り返すとき、ちょうど3回赤玉を取り出す確率を $p_n$ とする。$n \ge 4$ において、$\frac{p_n}{p_{n-1}}$ および、$p_n$ を最大にする $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉11個が入っている袋から玉を1個取り出して元に戻すことを $n$ 回繰り返すとき、ちょうど3回赤玉を取り出す確率を $p_n$ とする。$n \ge 4$ において、$\frac{p_n}{p_{n-1}}$ および、$p_n$ を最大にする $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$p_n$ を求める。$n$ 回の試行で赤玉がちょうど3回出る確率は、二項分布に従う。赤玉が出る確率は $\frac{4}{4+11} = \frac{4}{15}$ なので、

$p_n = {}_n C_3 \left(\frac{4}{15}\right)^3 \left(\frac{11}{15}\right)^{n-3}$

次に、$\frac{p_n}{p_{n-1}}$ を計算する。

$\frac{p_n}{p_{n-1}} = \frac{{}_n C_3 \left(\frac{4}{15}\right)^3 \left(\frac{11}{15}\right)^{n-3}}{{}_{n-1} C_3 \left(\frac{4}{15}\right)^3 \left(\frac{11}{15}\right)^{n-4}} = \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}} \cdot \frac{11}{15} = \frac{n! (n-4)!}{(n-1)! (n-3)!} \cdot \frac{11}{15} = \frac{n}{n-3} \cdot \frac{11}{15} = \frac{11n}{15(n-3)}$

$\frac{p_n}{p_{n-1}} > 1$ となる $n$ を求めると、

$\frac{11n}{15(n-3)} > 1$

$11n > 15n - 45$

$4n < 45$

$n < \frac{45}{4} = 11.25$

したがって、$n \le 11$ のとき $\frac{p_n}{p_{n-1}} > 1$ であり、$n \ge 12$ のとき $\frac{p_n}{p_{n-1}} < 1$ である。

よって、$\frac{p_n}{p_{n-1}}$ を最大にする $n$ は存在しない。

ただし、$n$ が整数の範囲では、$p_n$ が最大となるのは、$p_n \ge p_{n-1}$ かつ $p_n \ge p_{n+1}$ となる $n$ である。

$p_n \ge p_{n-1}$ は $\frac{p_n}{p_{n-1}} \ge 1$ と同値であり、$n \le 11$ である。

$p_{n+1} \le p_n$ は $\frac{p_{n+1}}{p_n} \le 1$ と同値であり、$\frac{11(n+1)}{15(n+1-3)} \le 1$ 、つまり $\frac{11(n+1)}{15(n-2)} \le 1$

$11n+11 \le 15n-30$

$41 \le 4n$

$n \ge \frac{41}{4} = 10.25$

したがって、$n \ge 11$ となる。

$10.25 \le n \le 11.25$ を満たす整数 $n$ は $n = 11$ である。

$p_n$ が最大になるのは $n = 11$ の時。

3. 最終的な答え

$\frac{p_n}{p_{n-1}}$ を最大にする $n$: 存在しない。

$p_n$ を最大にする $n$: $11$