赤色、白色、黄色の3つのサイコロを同時に投げます。それぞれのサイコロの出た目を$x, y, z$とします。$x$と$y$の最小値を$m$、最大値を$M$とします。 (1) $m \le z \le M$となる確率を求めます。 (2) $m \le z \le M$という条件の下で、$M - m = 3$となる条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

赤色、白色、黄色の3つのサイコロを同時に投げます。それぞれのサイコロの出た目を$x, y, z$とします。$x$と$y$の最小値を$m$、最大値を$M$とします。

(1) $m \le z \le M$となる確率を求めます。

(2) $m \le z \le M$という条件の下で、$M - m = 3$となる条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $m \le z \le M$となる確率を求める。

$x$と$y$の組み合わせに対して、$m$と$M$が決まります。

全ての組み合わせは$6 \times 6 \times 6 = 216$通りです。

$m \le z \le M$を満たす場合を考えます。

$x, y$の値に対して、$z$が$m \le z \le M$を満たす確率を考えます。

$x=y$の場合、$m=M$となるので、$z = x = y$となる必要があります。$x$は1から6の値をとりうるので、確率は$\frac{6}{216}$です。

$x \ne y$の場合を考えます。

$x$と$y$の組み合わせ数は、$6 \times 5 = 30$通り。このとき、$m < M$なので、$M - m \ge 1$です。

$m \le z \le M$となる$z$の数は$M - m + 1$です。

$x$と$y$の組み合わせを(1,2)とすると、$m=1, M=2$なので、$z=1, 2$であれば条件を満たします。確率は$\frac{2}{6}$となります。

$x$と$y$の組み合わせを(1,6)とすると、$m=1, M=6$なので、$z=1, 2, 3, 4, 5, 6$であれば条件を満たします。確率は$\frac{6}{6} = 1$となります。

$x < y$とします。$m=x$，$M=y$です。このとき、$x \le z \le y$となる確率を考えます。

$x$と$y$の組み合わせに対して、$x < y$となる組み合わせは$\frac{6 \times 5}{2} = 15$通りです。

$x=1$のとき、$y=2, 3, 4, 5, 6$。このとき、$z$は$1 \le z \le y$を満たすので、それぞれ$2, 3, 4, 5, 6$通りあります。

$x=2$のとき、$y=3, 4, 5, 6$。このとき、$z$は$2 \le z \le y$を満たすので、それぞれ$2, 3, 4, 5$通りあります。

同様に、$x=3, 4, 5$のとき、$z$は$2, 3, 4$通りあります。

したがって、$2+3+4+5+6+2+3+4+5+2+3+4+2+3+2=60$通りあります。

$x > y$のときも同様に、$60$通りあります。

$x=y$のときは、$z=x=y$なので、$6$通りです。

したがって、$60 + 60 + 6 = 126$通りです。

確率は$\frac{126}{216} = \frac{7}{12}$です。

(2) $m \le z \le M$という条件の下で、$M - m = 3$となる条件付き確率を求めます。

$M - m = 3$となる場合を考えます。

$m=1$のとき、$M=4$です。$x, y$は$\{1, 4\}$の組み合わせで、$z$は$1 \le z \le 4$を満たす必要があります。($z = 1, 2, 3, 4$)

$(x, y) = (1, 4)$のとき、$z = 1, 2, 3, 4$の4通り。

$(x, y) = (4, 1)$のとき、$z = 1, 2, 3, 4$の4通り。

$m=2$のとき、$M=5$です。$x, y$は$\{2, 5\}$の組み合わせで、$z$は$2 \le z \le 5$を満たす必要があります。($z = 2, 3, 4, 5$)

$(x, y) = (2, 5)$のとき、$z = 2, 3, 4, 5$の4通り。

$(x, y) = (5, 2)$のとき、$z = 2, 3, 4, 5$の4通り。

$m=3$のとき、$M=6$です。$x, y$は$\{3, 6\}$の組み合わせで、$z$は$3 \le z \le 6$を満たす必要があります。($z = 3, 4, 5, 6$)

$(x, y) = (3, 6)$のとき、$z = 3, 4, 5, 6$の4通り。

$(x, y) = (6, 3)$のとき、$z = 3, 4, 5, 6$の4通り。

したがって、$4 \times 6 = 24$通りです。

確率は$\frac{24}{216} = \frac{1}{9}$です。

したがって、求める条件付き確率は$\frac{1/9}{7/12} = \frac{1}{9} \times \frac{12}{7} = \frac{4}{21}$です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{12}$

(2) $\frac{4}{21}$