1000人の集団のうち5人がウイルスに感染している。検査方法Aは、感染していない人を「感染している」と判定する確率が $\frac{3}{1000}$ であり、感染している人を「感染していない」と判定する確率が $\frac{1}{1000}$ である。 (1) この集団から1人を検査方法Aで調べたとき、「感染している」と判定される確率を求める。 (2) この集団から1人を検査方法Aで調べたとき、「感染している」と判定された。この人が実際には感染していない確率を求める。

1. 問題の内容

1000人の集団のうち5人がウイルスに感染している。検査方法Aは、感染していない人を「感染している」と判定する確率が $\frac{3}{1000}$ であり、感染している人を「感染していない」と判定する確率が $\frac{1}{1000}$ である。

(1) この集団から1人を検査方法Aで調べたとき、「感染している」と判定される確率を求める。

(2) この集団から1人を検査方法Aで調べたとき、「感染している」と判定された。この人が実際には感染していない確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 「感染している」と判定される確率を求める。

全確率は、感染していない人が「感染している」と判定される確率と、感染している人が「感染している」と判定される確率の和である。

感染していない人は995人である。感染していない人が「感染している」と判定される確率は、$\frac{995}{1000} \times \frac{3}{1000}$ である。

感染している人は5人である。感染している人が「感染している」と判定される確率は、$\frac{5}{1000} \times (1 - \frac{1}{1000}) = \frac{5}{1000} \times \frac{999}{1000}$ である。

したがって、「感染している」と判定される確率は、

$P(\text{感染していると判定}) = \frac{995}{1000} \times \frac{3}{1000} + \frac{5}{1000} \times \frac{999}{1000} = \frac{2985 + 4995}{1000000} = \frac{7980}{1000000} = \frac{798}{100000} = \frac{399}{50000}$

(2) 「感染している」と判定された人が、実際には感染していない確率を求める。これは条件付き確率である。

$P(\text{感染していない} | \text{感染していると判定}) = \frac{P(\text{感染していない} \cap \text{感染していると判定})}{P(\text{感染していると判定})}$

$P(\text{感染していない} \cap \text{感染していると判定}) = \frac{995}{1000} \times \frac{3}{1000} = \frac{2985}{1000000}$

$P(\text{感染していると判定}) = \frac{7980}{1000000}$

$P(\text{感染していない} | \text{感染していると判定}) = \frac{2985/1000000}{7980/1000000} = \frac{2985}{7980} = \frac{597}{1596} = \frac{199}{532}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{399}{50000}$

(2) $\frac{199}{532}$