大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロが4以下の目を出し、かつ小さいサイコロが奇数の目を出す確率を求めます。

## 問題10

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロが4以下の目を出し、かつ小さいサイコロが奇数の目を出す確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、大きいサイコロが4以下の目を出す確率を求めます。サイコロの目は1から6まであり、1, 2, 3, 4が4以下なので、確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

次に、小さいサイコロが奇数の目を出す確率を求めます。サイコロの目は1から6まであり、1, 3, 5が奇数なので、確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

2つの事象は独立なので、両方の事象が同時に起こる確率は、それぞれの確率の積になります。

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題11

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回続けて投げるとき、3の倍数の目がちょうど3回出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

1回の試行で3の倍数（3または6）が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。3の倍数が出ない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。

5回の試行で3の倍数がちょうど3回出る確率は、二項分布で計算できます。二項分布の確率質量関数は次のとおりです。

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は1回の試行で成功する確率です。

この問題では、$n = 5$, $k = 3$, $p = \frac{1}{3}$ です。

したがって、求める確率は、

$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^{5-3}$

$= \binom{5}{3} (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2$

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{27}) \times (\frac{4}{9})$

$= \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$