袋Aと袋Bにそれぞれ8個の球が入っている。大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出た目の数だけ袋Aから袋Bへ、小さいサイコロの出た目の数だけ袋Bから袋Aへ球を移動させる。 (1) 袋Aと袋Bに入っている球の数が等しくなるサイコロの目の出方は何通りあるか。 (2) 袋Aに入っている球の数が5個になる確率を求めよ。 (3) 袋Aに入っている球の数が袋Bに入っている球の数の3倍になる確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aと袋Bにそれぞれ8個の球が入っている。大小2つのサイコロを同時に投げ、大きいサイコロの出た目の数だけ袋Aから袋Bへ、小さいサイコロの出た目の数だけ袋Bから袋Aへ球を移動させる。

(1) 袋Aと袋Bに入っている球の数が等しくなるサイコロの目の出方は何通りあるか。

(2) 袋Aに入っている球の数が5個になる確率を求めよ。

(3) 袋Aに入っている球の数が袋Bに入っている球の数の3倍になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

初期状態で袋A、袋Bにはそれぞれ8個の球が入っている。最終的に袋Aと袋Bの球の数が等しくなるので、それぞれ8個になる必要がある。

大きいサイコロの目を$x$、小さいサイコロの目を$y$とすると、

$8 - x + y = 8$

$x = y$

サイコロの目は1から6なので、$x=y=1, 2, 3, 4, 5, 6$の6通り。

(2)

袋Aに入っている球の数が5個になる場合を考える。

$8 - x + y = 5$

$x - y = 3$

$x = y + 3$

$y$は1から6の値をとるので、$x$の範囲を考慮すると

$y=1, x=4$

$y=2, x=5$

$y=3, x=6$

の3通り。

大小のサイコロの目の出方は$6 \times 6 = 36$通り。

よって、確率は$\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。

(3)

袋Aに入っている球の数が袋Bに入っている球の数の3倍になる場合を考える。

袋Aに入っている球の数を$a$、袋Bに入っている球の数を$b$とすると、

$a+b=16$

$a=3b$

$3b+b=16$

$4b=16$

$b=4$

$a=12$

$8-x+y=12$

$y-x=4$

$y=x+4$

$x$は1から6の値をとるので、$y$の範囲を考慮すると

$x=1, y=5$

$x=2, y=6$

の2通り。

大小のサイコロの目の出方は$6 \times 6 = 36$通り。

よって、確率は$\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) $\frac{1}{12}$

(3) $\frac{1}{18}$