数直線上の点Pが原点からスタートし、硬貨を投げるごとに以下の規則で移動します。 * 表が出た場合、Pは+1だけ移動します。 * 裏が出た場合、Pは原点に関して対称な点に移動します。 $n$ 回硬貨を投げた後のPの座標を $a_n$ とするとき、以下の確率を求めます。 (1) $a_3 = 0$ となる確率 (2) $a_4 = 1$ となる確率 (3) $n \ge 3$ のとき、$a_n = n - 3$ となる確率を $n$ を用いて表す

1. 問題の内容

数直線上の点Pが原点からスタートし、硬貨を投げるごとに以下の規則で移動します。

* 表が出た場合、Pは+1だけ移動します。

* 裏が出た場合、Pは原点に関して対称な点に移動します。

$n$ 回硬貨を投げた後のPの座標を $a_n$ とするとき、以下の確率を求めます。

(1) $a_3 = 0$ となる確率

(2) $a_4 = 1$ となる確率

(3) $n \ge 3$ のとき、$a_n = n - 3$ となる確率を $n$ を用いて表す

2. 解き方の手順

(1) $a_3 = 0$ となる確率

3回の移動で原点に戻るパターンを考えます。

* 表をT、裏をUと表します。

* 3回の操作で $a_3 = 0$ となるのは、(T, U, U), (U, T, U), (U, U, T) の3通りです。

* (T, U, U): $0 + 1 \rightarrow -1 \rightarrow 1$

* (U, T, U): $0 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow -1$

* (U, U, T): $0 \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow 1$　ではないので間違い

正しいパターンは、

(T, U, U): 1 -> -1 -> 1 -> -1

(U, T, U): 0 -> 0 -> 1 -> -1

(U, U, T): 0 -> 0 -> 0 -> 1

上記3パターンではない

$a_3=0$ となるパターンは存在しない

したがって、$a_3=0$ となるパターンは存在しないので、確率$p=0$

(2) $a_4 = 1$ となる確率

4回の移動で $a_4 = 1$ となるパターンを考えます。

* 表をT、裏をUと表します。

$a_4 = 1$ となるのは以下の通りです。

1. 表3回、裏1回：(T, T, T, U)の順列と座標を計算する

2. 裏が１回のパターンで、最終的に１になる場合

* (T, T, T, U): $0 + 1 \rightarrow +2 \rightarrow +3 \rightarrow -3$,　異なる座標となるのでダメ

* (T, T, U, T): $0 + 1 \rightarrow +2 \rightarrow -2 \rightarrow -1$

* (T, U, T, T): $0 + 1 \rightarrow -1 \rightarrow -2 \rightarrow -1$

* (U, T, T, T): $0 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$

これらの確率：$\binom{4}{1} (\frac{1}{2})^4 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$a_4 = 1$となるためには表が3回,裏が1回。

1. (T, T, T, U) : $0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{+1} 3 \xrightarrow{U} -3$

2. (T, T, U, T) : $0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{U} -2 \xrightarrow{+1} -1$

3. (T, U, T, T) : $0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{U} -1 \xrightarrow{+1} 0 \xrightarrow{+1} 1$

4. (U, T, T, T) : $0 \xrightarrow{U} 0 \xrightarrow{+1} 1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{+1} 3$

このうち条件を満たすのは(T, U, T, T)のみなので、$\frac{1}{16}$

(3) $n \ge 3$ のとき、$a_n = n - 3$ となる確率

$a_n = n - 3$ となるためには、裏が2回だけ出る必要があります。

なぜなら、表が出れば+1、裏が出れば原点に関して対称な点に移動するため、$n$ 回全て表が出れば座標は $n$ となります。

裏が1回だけ出ると、座標は $n-2$ となります。

裏が2回出ると、座標は $n-4$ となり、裏が3回出ると、座標は $n-6$となります。

つまり$a_n = n -2k$ ($k$は裏が出た回数)。

したがって、$n - 2k = n - 3$ となるためには $2k = 3$ となり、$k = \frac{3}{2}$ となります。

裏の回数が整数ではないため、$a_n = n-3$ となる確率は0です。

$a_n = n-3$　となる組み合わせは０

3. 最終的な答え

(1) $a_3 = 0$ となる確率: 0

(2) $a_4 = 1$ となる確率: $\frac{1}{16}$

(3) $n \ge 3$ のとき、$a_n = n - 3$ となる確率: 0