袋の中に赤玉が4個、白玉が4個入っている。 (1) 1個取り出して色を確認して袋に戻すことを3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求めよ。 (2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が4個入っている。

(1) 1個取り出して色を確認して袋に戻すことを3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求めよ。

(2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

白玉が1回以上出る確率を求める代わりに、白玉が全く出ない確率を求めて、それを1から引く方が簡単である。

1回の試行で白玉が出ない（つまり赤玉が出る）確率は $4/8 = 1/2$ である。

3回の試行で白玉が全く出ない確率は、各試行が独立なので、 $(1/2)^3 = 1/8$ である。

したがって、白玉が1回以上出る確率は $1 - 1/8 = 7/8$ である。

(2)

少なくとも1個が白玉である確率を求める代わりに、全て赤玉である確率を求めて、それを1から引く方が簡単である。

3個の玉を同時に取り出す場合の総数は、$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ である。

3個とも赤玉である場合の数は、$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$ である。

したがって、3個とも赤玉である確率は $4/56 = 1/14$ である。

少なくとも1個が白玉である確率は $1 - 1/14 = 13/14$ である。

3. 最終的な答え

(1) $7/8$

(2) $13/14$