10本のバラを3人に分配する方法の数を求めます。 (1) 1本ももらわない人がいても良い場合 (2) どの人も少なくとも1本はもらう場合

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

10本のバラを3人に分配する方法の数を求めます。

(1) 1本ももらわない人がいても良い場合

(2) どの人も少なくとも1本はもらう場合

2. 解き方の手順

(1) 1本ももらわない人がいても良い場合

これは、重複組合せの問題です。3人のうち、1人目のバラの数を$x_1$, 2人目のバラの数を$x_2$, 3人目のバラの数を$x_3$とします。

すると、$x_1 + x_2 + x_3 = 10$ を満たす非負整数の組$(x_1, x_2, x_3)$の数を求めることになります。

これは、10個の球と2個の仕切りを並べる方法の数と一致します。

よって、求める場合の数は、

$_{10+3-1}C_{3-1} = _{12}C_2$

となります。

(2) どの人も少なくとも1本はもらう場合

まず、3人それぞれに1本ずつバラを配ります。すると、残りのバラは7本になります。

この7本のバラを3人に分配する方法の数を求めます。この場合も、1本ももらわない人がいても良いです。

1人目のバラの数を$y_1$, 2人目のバラの数を$y_2$, 3人目のバラの数を$y_3$とします。

すると、$y_1 + y_2 + y_3 = 7$ を満たす非負整数の組$(y_1, y_2, y_3)$の数を求めることになります。

これは、7個の球と2個の仕切りを並べる方法の数と一致します。

よって、求める場合の数は、

$_{7+3-1}C_{3-1} = _{9}C_2$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 1本ももらわない人がいても良い場合: $_{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ 通り

(2) どの人も少なくとも1本はもらう場合: $_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り