表が出る確率が4割のコインを5回トスしたとき、ちょうど1回だけ表が出る確率を求めます。

1. 問題の内容

表が出る確率が4割のコインを5回トスしたとき、ちょうど1回だけ表が出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

表が出る確率を $p$、裏が出る確率を $q$ とすると、$p = 0.4 = \frac{2}{5}$ であり、$q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ です。

5回中1回だけ表が出る確率は、二項分布の公式を使って計算できます。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率、$q$ は失敗確率、${}_n C_k$ は二項係数です。

この問題では、$n=5$, $k=1$, $p=\frac{2}{5}$, $q=\frac{3}{5}$ なので、

$P(X=1) = {}_5 C_1 \cdot (\frac{2}{5})^1 \cdot (\frac{3}{5})^{5-1}$

${}_5 C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 5$

よって、

$P(X=1) = 5 \cdot (\frac{2}{5})^1 \cdot (\frac{3}{5})^4 = 5 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{81}{625} = 2 \cdot \frac{81}{625} = \frac{162}{625}$

3. 最終的な答え

$\frac{162}{625}$