正五角形ABCDEの頂点Aに点Pがある。サイコロを1回投げ、4以下の目が出たら反時計回りに2つ先の頂点に進み、5以上の目が出たら時計回りに1つ先の頂点に進む。 (1) サイコロを4回投げたとき、点Pが点Aにある確率を求める。 (2) サイコロを5回投げたとき、点Pが点Aにある確率を求める。

1. 問題の内容

正五角形ABCDEの頂点Aに点Pがある。サイコロを1回投げ、4以下の目が出たら反時計回りに2つ先の頂点に進み、5以上の目が出たら時計回りに1つ先の頂点に進む。

(1) サイコロを4回投げたとき、点Pが点Aにある確率を求める。

(2) サイコロを5回投げたとき、点Pが点Aにある確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを4回投げたとき

4以下の目が出る確率を$p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$とし、5以上の目が出る確率を$q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$とする。

反時計回りに進む回数を$x$回、時計回りに進む回数を$y$回とする。

点Pが点Aにあるためには、$2x - y \equiv 0 \pmod{5}$となる必要がある。また、$x+y = 4$である。

これを解くと、$2x - (4-x) = 3x - 4 \equiv 0 \pmod{5}$となるので、$3x \equiv 4 \pmod{5}$、つまり$3x = 4+5k$を満たす整数$x$を見つける。

$x=3$のとき、$3*3 = 9 = 4 + 5$なので、$x=3$が解。

$x=3$のとき、$y=1$。また、$x=3+5n, y=1-5n$。

4回中3回反時計回り、1回時計回りになる確率を求めればよい。

これは二項定理より、

$\binom{4}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^1 = 4 * \frac{8}{27} * \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$

(2) サイコロを5回投げたとき

反時計回りに進む回数を$x$回、時計回りに進む回数を$y$回とする。

点Pが点Aにあるためには、$2x - y \equiv 0 \pmod{5}$となる必要がある。また、$x+y = 5$である。

これを解くと、$2x - (5-x) = 3x - 5 \equiv 0 \pmod{5}$となるので、$3x \equiv 0 \pmod{5}$、つまり$x=0$または$x=5$。

$x=0$のとき、$y=5$。また、$x=5$のとき、$y=0$。

5回中0回反時計回り、5回時計回りになる確率、もしくは5回中5回反時計回り、0回時計回りになる確率を求めればよい。

これは二項定理より、

$\binom{5}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^5 + \binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = (\frac{1}{3})^5 + (\frac{2}{3})^5 = \frac{1}{243} + \frac{32}{243} = \frac{33}{243} = \frac{11}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{81}$

(2) $\frac{11}{81}$