1つのサイコロを2回投げ、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$ とする。 $A = \sqrt{x_1}$、$B = \sqrt{x_1 x_2}$ と定義する。以下の確率を求めよ。 - $x_1 = x_2$ となる確率 - $x_1 < x_2$ となる確率 - A が整数である確率 - B が整数である確率 - B が整数であったとき、A が整数である条件付き確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを2回投げ、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$ とする。

$A = \sqrt{x_1}$、$B = \sqrt{x_1 x_2}$ と定義する。以下の確率を求めよ。

- $x_1 = x_2$ となる確率

- $x_1 < x_2$ となる確率

- A が整数である確率

- B が整数である確率

- B が整数であったとき、A が整数である条件付き確率

2. 解き方の手順

- $x_1 = x_2$ となる場合: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) の 6 通り。全事象は 36 通りなので、確率は 6/36 = 1/6。

- $x_1 < x_2$ となる場合: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6) の 15 通り。全事象は 36 通りなので、確率は 15/36 = 5/12。

- A が整数となる場合: $x_1$ が平方数 (1, 4) となる場合なので、確率は 2/6 = 1/3。

- B が整数となる場合: $x_1 x_2$ が平方数となる場合を考える。

- $x_1 x_2 = 1, 4, 9, 16, 25, 36$

- $x_1x_2 = 1: (1,1)$

- $x_1x_2 = 4: (1,4), (4,1), (2,2)$

- $x_1x_2 = 9: (3,3)$

- $x_1x_2 = 16: (4,4)$

- $x_1x_2 = 25: (5,5)$

- $x_1x_2 = 36: (6,6)$

- $x_1x_2 = 2: (1,2), (2,1)$

- $x_1x_2 = 3: (1,3), (3,1)$

- $x_1x_2 = 5: (1,5), (5,1)$

- $x_1x_2 = 6: (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)$

- $x_1x_2 = 8: (2,4), (4,2)$

- $x_1x_2 = 10: (2,5), (5,2)$

- $x_1x_2 = 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2)$

- $x_1x_2 = 15: (3,5), (5,3)$

- $x_1x_2 = 18: (3,6), (6,3)$

- $x_1x_2 = 20: (4,5), (5,4)$

- $x_1x_2 = 24: (4,6), (6,4)$

- $x_1x_2 = 30: (5,6), (6,5)$

したがって、 B が整数となるのは $x_1 x_2$ が平方数となる場合なので、(1,1), (1,4), (4,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) の 8 通り。確率は 8/36 = 2/9。

- B が整数であったとき、A が整数である条件付き確率：B が整数となる事象を $S_B$ 、Aが整数となる事象を $S_A$ とすると、$P(S_A|S_B)=\frac{P(S_A \cap S_B)}{P(S_B)}$を求めれば良い。$S_A \cap S_B$ は、$x_1 x_2$ と $x_1$ がともに平方数となる場合なので、 (1,1), (1,4), (4,1), (4,4) の 4 通り。$P(S_A \cap S_B)=4/36 = 1/9$. $P(S_B) = 2/9$ であるから、$P(S_A|S_B)=\frac{1/9}{2/9}=\frac{1}{2}$.　

（$x_1=1$ or $4$ かつ　$x_1x_2$ が平方数になるのは、（1,1）,（1,4）,（4,1）,（4,4）の4つの場合だから、Bが整数のときAが整数になる確率は　4/8=1/2.)

3. 最終的な答え

- $x_1 = x_2$ となる確率: 1/6

- $x_1 < x_2$ となる確率: 5/12

- A が整数である確率: 1/3

- B が整数である確率: 2/9

- B が整数であったとき、A が整数である条件付き確率: 1/2