Q地域で今年収穫されるレモンの重さの母平均 $m$ が過去の平均110gより軽いかどうかを有意水準5%で仮説検定する問題です。帰無仮説、対立仮説を設定し、標本平均に基づいて帰無仮説が棄却されるかどうかを判断します。具体的には、正規分布に従う標本平均を用いて、確率 $P(\overline{W} \le 108.2)$ を計算し、その値をパーセント表示したものが有意水準5%より小さいかどうかを判断します。

1. 問題の内容

Q地域で今年収穫されるレモンの重さの母平均 $m$ が過去の平均110gより軽いかどうかを有意水準5%で仮説検定する問題です。帰無仮説、対立仮説を設定し、標本平均に基づいて帰無仮説が棄却されるかどうかを判断します。具体的には、正規分布に従う標本平均を用いて、確率 $P(\overline{W} \le 108.2)$ を計算し、その値をパーセント表示したものが有意水準5%より小さいかどうかを判断します。

2. 解き方の手順

* **サ**: 対立仮説は帰無仮説を否定する仮説なので、$m<110$ となります。

* **シ**: 標本の大きさ400は十分に大きいので、中心極限定理より、標本平均 $\overline{W}$ は近似的に正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ に従います。ここで、$m$は母平均、$\sigma$は母標準偏差、$n$は標本の大きさです。問題文より、$m=110$ (帰無仮説)、$\sigma=20$、$n=400$ なので、$\overline{W}$ は $N(110, \frac{20^2}{400}) = N(110, 1)$ に従います。

* **スセソタ**: $P(\overline{W} \le 108.2)$ を計算します。$\overline{W}$ を標準化すると、$Z = \frac{\overline{W} - m}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\overline{W} - 110}{\sqrt{1}} = \overline{W} - 110$ となります。

したがって、$P(\overline{W} \le 108.2) = P(Z \le 108.2 - 110) = P(Z \le -1.8)$ です。

標準正規分布表を用いると、$P(Z \le -1.8) \approx 0.0359$ となります。

* **チ**: 0.0359 をパーセント表示すると 3.59% になります。これは有意水準 5% より小さいです。したがって、帰無仮説は棄却されます。

* **ツ**: 帰無仮説が棄却されたので、対立仮説である「母平均は110gより軽い」が支持されます。

3. 最終的な答え

* サ：$m<110$

* シ：$N(110, 1)$

* スセソタ：$0.0359$

* チ：小さい

* ツ：軽い