袋の中に赤球3個、白球2個、黒球1個が入っている。A, B, Cの3人がこの順に1個ずつ球を取り出す。取り出した球は元に戻さない。 (1) A, B, Cがともに赤球を取り出す確率 (2) A, B, Cのうち2人だけが赤球を取り出す確率 (3) A, B, Cの誰も黒球を取り出さない確率 (4) A, B, Cが取り出した球の色が2種類である確率 (5) A, B, Cが取り出した球の色が3種類である確率 (6) A, B, Cが取り出した球の色が3種類であるとき、Bが取り出した球が赤球である条件付き確率 を求める問題。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個、白球2個、黒球1個が入っている。A, B, Cの3人がこの順に1個ずつ球を取り出す。取り出した球は元に戻さない。

(1) A, B, Cがともに赤球を取り出す確率

(2) A, B, Cのうち2人だけが赤球を取り出す確率

(3) A, B, Cの誰も黒球を取り出さない確率

(4) A, B, Cが取り出した球の色が2種類である確率

(5) A, B, Cが取り出した球の色が3種類である確率

(6) A, B, Cが取り出した球の色が3種類であるとき、Bが取り出した球が赤球である条件付き確率

を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cがともに赤球を取り出す確率は、

$P(A=赤, B=赤, C=赤) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

選択肢の中に1/20がないので、計算間違いを確認する。

赤玉を3個取り出す確率は

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} = \frac{3}{60} = \frac{3}{3 \times 20}$

約分をして分母分子を探す。

(2) 2人だけが赤球を取り出す確率は、

(i) A, Bが赤、Cが赤でない場合：$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(ii) A, Cが赤、Bが赤でない場合：$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(iii) B, Cが赤、Aが赤でない場合：$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

合計：$\frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} = \frac{9}{20}$

9と20の数字を探す

(3) 誰も黒球を取り出さない確率は、

全体から黒球を少なくとも1つ取り出す確率を引く。

1 - (Aが黒、Bが黒、Cが黒、AとBが黒、AとCが黒、BとCが黒、AかBかCのいずれかが黒)

A, B, Cが黒でない場合、赤球3個と白球2個の中から3個選ぶので

$\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$

5/6 * 4/5 * 3/4 = 1/2

(4) A, B, Cが取り出した球の色が2種類である確率

(i)赤と白：$\frac{\binom{3}{1}\binom{2}{2} + \binom{3}{2}\binom{2}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{3+6}{20}= \frac{9}{20}$

(ii)白と黒：$\frac{\binom{2}{1}\binom{1}{2} + \binom{2}{2}\binom{1}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{0+1}{20}= \frac{1}{20}$

(iii)赤と黒：$\frac{\binom{3}{1}\binom{1}{2} + \binom{3}{2}\binom{1}{1}}{\binom{6}{3}} = \frac{0+3}{20}= \frac{3}{20}$

$\frac{9+1+3}{20} = \frac{13}{20}$

(5) A, B, Cが取り出した球の色が3種類である確率は、

$\frac{3 \times 2 \times 1}{\binom{6}{3}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = \frac{12}{40}$

(3/6)(2/5)(1/4) * 6 通り =

(6) A, B, Cが取り出した球の色が3種類であるとき、Bが取り出した球が赤球である条件付き確率

(5)の確率

1/20: 1、1: 5/20 5、2： 9/20 9,5：3/10 3

(1) 1:3, 2:0 -> 1/20 = (3)/(6*5*4)

(2) 4:9, 5:2 ->

(3) 7:1, 8:2

(4) 9:1, 10:3, 11:2, 12:0

(5) 13:3, 14:1, 15:0

(6) 16:1, 17:5

3. 最終的な答え

1: 3

2: 0

4: 9

5: 2

7: 1

8: 2

9: 1

10: 3

11: 2

12: 0

13: 3

14: 1

15: 0

16: 1

17: 5