1つのサイコロを3回繰り返し投げ、出た目をそれぞれ$x_1, x_2, x_3$とする。 $A = \sqrt{x_1}, B = \sqrt{x_1x_2}, C = \sqrt{x_1x_2x_3}$とおく。$A, B, C$の3つの値のうち、整数であるものの個数を$X$とする。 (i) $X=3$となる確率を求めよ。 (ii) $X=2$となる確率を求めよ。 (iii) $X=0$となる確率を求めよ。 (i), (ii), (iii)の結果を用いて、$X=1$となる確率を求めよ。 $X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回繰り返し投げ、出た目をそれぞれ$x_1, x_2, x_3$とする。

$A = \sqrt{x_1}, B = \sqrt{x_1x_2}, C = \sqrt{x_1x_2x_3}$とおく。$A, B, C$の3つの値のうち、整数であるものの個数を$X$とする。

(i) $X=3$となる確率を求めよ。

(ii) $X=2$となる確率を求めよ。

(iii) $X=0$となる確率を求めよ。

(i), (ii), (iii)の結果を用いて、$X=1$となる確率を求めよ。

$X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $X=3$となるのは、$A, B, C$全てが整数となるときである。つまり、$x_1, x_1x_2, x_1x_2x_3$が全て平方数となれば良い。

$x_1$が平方数である必要があるから、$x_1 = 1, 4$である。

- $x_1 = 1$のとき、$x_2$が平方数である必要があるから、$x_2 = 1, 4$である。

- $x_2 = 1$のとき、$x_3$が平方数である必要があるから、$x_3 = 1, 4$である。

- $x_2 = 4$のとき、$4x_3$が平方数である必要があるから、$x_3 = 1, 4$である。

- $x_1 = 4$のとき、$4x_2$が平方数である必要があるから、$x_2 = 1, 4$である。

- $x_2 = 1$のとき、$4x_3$が平方数である必要があるから、$x_3 = 1, 4$である。

- $x_2 = 4$のとき、$16x_3$が平方数である必要があるから、$x_3 = 1, 4$である。

したがって、$X=3$となるのは、$(x_1, x_2, x_3) = (1, 1, 1), (1, 1, 4), (1, 4, 1), (1, 4, 4), (4, 1, 1), (4, 1, 4), (4, 4, 1), (4, 4, 4)$の8通りである。

サイコロの目の出方は$6^3 = 216$通りなので、$X=3$となる確率は$\frac{8}{216} = \frac{1}{27}$である。

(ii) $X=2$となるのは、$A, B, C$のうち2つが整数となるときである。

- $A, B$が整数で、$C$が整数でないとき：$x_1$と$x_1x_2$が平方数で、$x_1x_2x_3$が平方数でない。

$x_1, x_2$は平方数である必要がある。したがって、$x_1 = 1, 4$と$x_2 = 1, 4$である。

$x_3$は平方数でない数なので、$x_3 = 2, 3, 5, 6$である。

$x_1 = 1, x_2 = 1$のとき、$x_3 = 2, 3, 5, 6$

$x_1 = 1, x_2 = 4$のとき、$x_3 = 2, 3, 5, 6$

$x_1 = 4, x_2 = 1$のとき、$x_3 = 2, 3, 5, 6$

$x_1 = 4, x_2 = 4$のとき、$x_3 = 2, 3, 5, 6$

このパターンは$4 \times 4 = 16$通り。

- $A, C$が整数で、$B$が整数でないとき：$x_1$と$x_1x_2x_3$が平方数で、$x_1x_2$が平方数でない。

$x_1$が平方数であるから、$x_1 = 1, 4$である。

$x_1 = 1$のとき、$x_2x_3$が平方数だが$x_2$が平方数でない。

$x_2 = 2, 3, 5, 6$のとき、$x_3 = 2, 3, 5, 6$で、$x_2x_3$が平方数。

$x_2x_3$が平方数になるのは、$x_2 = 2, x_3 = 2$, $x_2=3, x_3 = 3$, $x_2=5, x_3 = 5$, $x_2=6, x_3 = 6$のとき。

$x_1 = 4$のとき、$4x_2x_3$が平方数だが、$4x_2$が平方数でない。

このパターンは$4 \times 4 = 16$通り。

- $B, C$が整数で、$A$が整数でないとき：$x_1x_2$と$x_1x_2x_3$が平方数で、$x_1$が平方数でない。

$x_1$は平方数でないので、$x_1 = 2, 3, 5, 6$である。

$x_2$は$\frac{平方数}{x_1}$なので、$x_1x_2$が平方数となる必要がある。

$x_1x_2$が平方数だから、$x_1x_2x_3$が平方数になるには、$x_3$が平方数でないといけない。

しかし、$x_1x_2$が平方数のとき、$x_3 = 1, 4$。つまり、$x_3$は平方数である。

これはありえない。

したがって、$X=2$となるのは、$16$通りなので、確率は$16/216 = 2/27$

(iii) $X=0$となるのは、$A, B, C$全てが整数でないときである。

$X=3$となる確率は$1/27$, $X=2$となる確率は$2/27$.

$X=0, 1, 2, 3$となる確率の和は1なので、$P(X=0) + P(X=1) + 2/27 + 1/27 = 1$.

$P(X=0) + P(X=1) = 24/27 = 8/9$。

$A$が整数にならないのは$x_1 = 2, 3, 5, 6$.

$A$が整数にならない確率は$4/6=2/3$

$X=0$のとき、$x_1$が平方数でないので、$x_1=2,3,5,6$.

$x_1 = 2$のとき，$B = \sqrt{2x_2}, C = \sqrt{2x_2x_3}$がともに整数でない。

$x_1=3$のとき，$B = \sqrt{3x_2}, C = \sqrt{3x_2x_3}$がともに整数でない。

$x_1=5$のとき，$B = \sqrt{5x_2}, C = \sqrt{5x_2x_3}$がともに整数でない。

$x_1=6$のとき，$B = \sqrt{6x_2}, C = \sqrt{6x_2x_3}$がともに整数でない。

$X=0$となる確率は$\frac{130}{216} = \frac{65}{108}$

$X=1$となる確率は$1 - \frac{1}{27} - \frac{2}{27} - \frac{65}{108} = \frac{108 - 4 - 8 - 65}{108} = \frac{31}{108}$

$X$の期待値は$0 \times \frac{65}{108} + 1 \times \frac{31}{108} + 2 \times \frac{2}{27} + 3 \times \frac{1}{27} = \frac{31}{108} + \frac{16}{108} + \frac{12}{108} = \frac{59}{108}$

3. 最終的な答え

(i) X=3となる確率は $\frac{1}{27}$

(ii) X=2となる確率は $\frac{2}{27}$

(iii) X=0となる確率は $\frac{65}{108}$

X=1となる確率は $\frac{31}{108}$

Xの期待値は $\frac{59}{108}$