三角形ABCにおいて、$a=1$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{2}$であるとき、$\cos B$の値と角$B$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=1$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{2}$であるとき、$\cos B$の値と角$B$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$\cos B$の値を求める。余弦定理は以下の通り。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

この式を変形して$\cos B$を求める式を得る。

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると

$\cos B = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2(1)(\sqrt{2})} = \frac{1 + 2 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす角$B$の値を求める。$0 < B < \pi$の範囲で考えると、

$B = \frac{3\pi}{4}$ (ラジアン) または $B = 135^\circ$ (度)

3. 最終的な答え

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 135^\circ$