複素数平面上の2点 A, B を表す複素数がそれぞれ $\alpha = 1+i$, $\beta = 4+3i$ であるとき、線分 AB を1辺とする正方形 ABCD を考える。このとき、頂点 C, D を表す複素数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点 A, B を表す複素数がそれぞれ $\alpha = 1+i$, $\beta = 4+3i$ であるとき、線分 AB を1辺とする正方形 ABCD を考える。このとき、頂点 C, D を表す複素数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

正方形 ABCD の頂点 C, D を表す複素数をそれぞれ $\gamma$, $\delta$ とする。

ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を複素数で表すと $\beta - \alpha = (4+3i) - (1+i) = 3+2i$ である。

(i) 点 C について:

$\overrightarrow{BC}$ は $\overrightarrow{AB}$ を反時計回りに $90^\circ$ 回転させたベクトルであるから、$\overrightarrow{BC}$ を表す複素数は $(3+2i)i = -2+3i$ である。

したがって、$\gamma = \beta + (-2+3i) = (4+3i) + (-2+3i) = 2+6i$ となる。

(ii) 点 D について:

$\overrightarrow{AD}$ は $\overrightarrow{BC}$ と同じ向きで、大きさも等しいので、$\overrightarrow{AD}$ を表す複素数は $-2+3i$ である。

したがって、$\delta = \alpha + (-2+3i) = (1+i) + (-2+3i) = -1+4i$ となる。

あるいは、点 D は点 C を A を中心に $-90^\circ$ 回転させた点と考えられるので、$\overrightarrow{AC}$ は $\gamma - \alpha = (2+6i) - (1+i) = 1+5i$ であり、$\overrightarrow{AD}$ を表す複素数は $(1+5i)(-i) = 5-i$ である。

したがって、$\delta = \alpha + (5-i) = (1+i) + (5-i) = 6$　これは正しくない．

$\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{BA}$ を表す複素数は $-(\alpha-\beta) = \beta - \alpha = 3+2i$ なので、$\delta = \gamma - (3+2i) = (2+6i)-(3+2i) = -1+4i$

3. 最終的な答え

頂点 C を表す複素数は $2+6i$ である。

頂点 D を表す複素数は $-1+4i$ である。