一辺の長さが5の正四面体ABCDにおいて、辺BCを2:3に内分する点をPとするとき、以下の問いに答える。 (1) 線分APの長さを求める。 (2) 角APDを$\theta$とおくとき、$\sin \theta$を求める。 (3) 三角形APDの面積Sを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正四面体ABCDにおいて、辺BCを2:3に内分する点をPとするとき、以下の問いに答える。

(1) 線分APの長さを求める。

(2) 角APDを$\theta$とおくとき、$\sin \theta$を求める。

(3) 三角形APDの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分APの長さを求める。

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{BP} = \frac{2}{5} \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}$

$|\overrightarrow{AP}|^2 = (\frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}) \cdot (\frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC})$

$= \frac{9}{25} |\overrightarrow{AB}|^2 + \frac{12}{25} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \frac{4}{25} |\overrightarrow{AC}|^2$

$= \frac{9}{25} \cdot 5^2 + \frac{12}{25} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ + \frac{4}{25} \cdot 5^2$

$= \frac{9}{25} \cdot 25 + \frac{12}{25} \cdot 25 \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{25} \cdot 25 = 9 + 6 + 4 = 19$

$AP = \sqrt{19}$

(2) $\angle APD = \theta$とおくとき、$\sin \theta$を求める。

同様に、$DP = \sqrt{19}$となる。

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$

$\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{DP} = |\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{DP}| \cos \theta$

$AP^2+DP^2-AD^2 = 2AP \cdot DP \cdot \cos \theta$

$AP = DP = \sqrt{19}, AD = 5$

$19+19-25 = 2 \sqrt{19} \sqrt{19} \cos \theta$

$13 = 38 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{13}{38}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{13}{38})^2 = \frac{38^2-13^2}{38^2} = \frac{(38-13)(38+13)}{38^2} = \frac{25 \cdot 51}{38^2}$

$\sin \theta = \frac{5 \sqrt{51}}{38}$

(3) 三角形 APDの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} AP \cdot DP \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{19} \cdot \sqrt{19} \cdot \frac{5 \sqrt{51}}{38} = \frac{1}{2} \cdot 19 \cdot \frac{5 \sqrt{51}}{38} = \frac{5 \sqrt{51}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AP = \sqrt{19}$

(2) $\sin \theta = \frac{5\sqrt{51}}{38}$

(3) $S = \frac{5\sqrt{51}}{4}$