底面の半径が $r$ 、高さが $h$ の円柱がある。この円柱の底面の半径を $\frac{1}{2}$ 倍にし、高さを2倍にした新しい円柱を作る。新しい円柱の体積は、元の円柱の体積の何倍になるか求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$ 、高さが $h$ の円柱がある。この円柱の底面の半径を $\frac{1}{2}$ 倍にし、高さを2倍にした新しい円柱を作る。新しい円柱の体積は、元の円柱の体積の何倍になるか求めよ。

2. 解き方の手順

まず、元の円柱の体積を求める。円柱の体積は、底面積 $\times$ 高さで求められる。底面積は $\pi \times 半径^2$ なので、元の円柱の体積は次のようになる。

元の円柱の体積 = $\pi r^2 h$

次に、新しい円柱の体積を求める。新しい円柱の半径は $\frac{1}{2}r$ 、高さは $2h$ なので、新しい円柱の体積は次のようになる。

新しい円柱の体積 = $\pi (\frac{1}{2}r)^2 (2h)$

新しい円柱の体積を展開して整理する。

新しい円柱の体積 = $\pi (\frac{1}{4}r^2)(2h) = \frac{1}{2}\pi r^2 h$

最後に、新しい円柱の体積が元の円柱の体積の何倍かを求めるために、新しい円柱の体積を元の円柱の体積で割る。

$\frac{新しい円柱の体積}{元の円柱の体積} = \frac{\frac{1}{2}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$ 倍