直方体ABCD-EFGHにおいて、FG=$2\sqrt{2}$、CG=$\sqrt{23}$、HG=$2\sqrt{2}$、$\triangle CFH = 6\sqrt{3}$である。 (1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。 (2) Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとすると、GIの長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、FG=$2\sqrt{2}$、CG=$\sqrt{23}$、HG=$2\sqrt{2}$、$\triangle CFH = 6\sqrt{3}$である。

(1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。

(2) Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとすると、GIの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角錐C-FGHの体積Vを求める。

体積Vは、底面を$\triangle FGH$、高さをCGとする三角錐の体積なので、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle FGH \times CG$

$\triangle FGH$はFG = HG = $2\sqrt{2}$の直角二等辺三角形なので、面積は、

$\triangle FGH = \frac{1}{2} \times FG \times HG = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4$

よって、

$V = \frac{1}{3} \times 4 \times \sqrt{23} = \frac{4\sqrt{23}}{3}$

(2) Gから平面CFHに下ろした垂線の足Iとすると、GIの長さを求める。

三角錐C-FGHの体積Vは、底面を$\triangle CFH$、高さをGIとする三角錐の体積とも考えられるので、

$V = \frac{1}{3} \times \triangle CFH \times GI$

問題文より$\triangle CFH = 6\sqrt{3}$なので、

$\frac{4\sqrt{23}}{3} = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} \times GI$

$GI = \frac{4\sqrt{23}}{6\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{23}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{23}\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{69}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{4\sqrt{23}}{3}$

(2) $GI = \frac{2\sqrt{69}}{9}$