$\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。$\sin \theta$ は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}}$、$\tan \theta$ は $\frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角で、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。$\sin \theta$ は $\frac{\text{ア}}{\text{イ}}$、$\tan \theta$ は $\frac{\text{ウ}}{\text{エ}}$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$。したがって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して、$\tan \theta$ の値を求めます。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

よって、ア = $\sqrt{5}$、イ = 3、ウ = $\sqrt{5}$、エ = 2 となります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

ア = $\sqrt{5}$

イ = 3

ウ = $\sqrt{5}$

エ = 2