3点A(2, 1, -1), B(2, 2, -3), C(1, 2, -2)が与えられています。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めます。 (2) 三角形ABCの面積を求めます。 (3) 原点Oから、3点A, B, Cを含む平面に垂直な線を引き、その交点をHとするとき、点Hの座標と四面体OABCの体積を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

3点A(2, 1, -1), B(2, 2, -3), C(1, 2, -2)が与えられています。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めます。

(2) 三角形ABCの面積を求めます。

(3) 原点Oから、3点A, B, Cを含む平面に垂直な線を引き、その交点をHとするとき、点Hの座標と四面体OABCの体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求め、内積を計算します。

$\overrightarrow{AB} = (2-2, 2-1, -3-(-1)) = (0, 1, -2)$

$\overrightarrow{AC} = (1-2, 2-1, -2-(-1)) = (-1, 1, -1)$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0)(-1) + (1)(1) + (-2)(-1) = 0 + 1 + 2 = 3$

(2) 三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$で求められます。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-1) - (-2)(1) \\ (-2)(-1) - (0)(-1) \\ (0)(1) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 \\ 2 - 0 \\ 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2}\sqrt{6}$

(3) 平面ABCの法線ベクトルは$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, 2, 1)$です。

点Hは、原点Oから平面ABCに下ろした垂線の足なので、$\overrightarrow{OH} = k(1, 2, 1) = (k, 2k, k)$と表せます。

また、点Hは平面ABC上にあるので、$\overrightarrow{AH}$は平面ABC上の任意のベクトルと垂直です。

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = (k-2, 2k-1, k+1)$

$\overrightarrow{AH}$と$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$の内積が0となるはずです。

平面ABCの方程式は、$1(x-2) + 2(y-1) + 1(z+1) = 0$

$x + 2y + z - 3 = 0$

点H(k, 2k, k)がこの平面上にあるので、

$k + 2(2k) + k - 3 = 0$

$k + 4k + k - 3 = 0$

$6k = 3$

$k = \frac{1}{2}$

したがって、Hの座標は$(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$です。

四面体OABCの体積は、$\frac{1}{6} |(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC}|$で求められます。

$\overrightarrow{OA} = (2, 1, -1)$

$\overrightarrow{OB} = (2, 2, -3)$

$\overrightarrow{OC} = (1, 2, -2)$

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-3) - (-1)(2) \\ (-1)(2) - (2)(-3) \\ (2)(2) - (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 2 \\ -2 + 6 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

$(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = (-1)(1) + (4)(2) + (2)(-2) = -1 + 8 - 4 = 3$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{6}|3| = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) Hの座標: $(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$

四面体OABCの体積: $\frac{1}{2}$