座標空間内の3点A(2, -2, 1), B(-4, 1, 1), C(1, 5, -1)と原点Oがある。 (1) |OA|, |OB|, OA・OB を求め、OAとOBのなす角を求める。 (2) △OABの面積を求める。 (3) 点Cから△OABを含む平面に下ろした垂線をCDとするとき、点Dの座標を求める。 (4) 四面体OABCの体積を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の3点A(2, -2, 1), B(-4, 1, 1), C(1, 5, -1)と原点Oがある。

(1) |OA|, |OB|, OA・OB を求め、OAとOBのなす角を求める。

(2) △OABの面積を求める。

(3) 点Cから△OABを含む平面に下ろした垂線をCDとするとき、点Dの座標を求める。

(4) 四面体OABCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

|OA| = $\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

|OB| = $\sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

OA・OB = $(2)(-4) + (-2)(1) + (1)(1) = -8 - 2 + 1 = -9$

cosθ = $\frac{OA・OB}{|OA||OB|} = \frac{-9}{3・3\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、OAとOBのなす角θは $\frac{3}{4}\pi$

(2)

|OA|^2 = 9

|OB|^2 = 18

(OA・OB)^2 = 81

△OABの面積 = $\frac{1}{2}\sqrt{|OA|^2|OB|^2 - (OA・OB)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{9・18 - 81} = \frac{1}{2}\sqrt{162 - 81} = \frac{1}{2}\sqrt{81} = \frac{9}{2}$

(3)

Dは平面OAB上にあるので、OD = sOA + tOB と表せる。

CD⊥平面OABより、CD・OA = 0 かつ CD・OB = 0

OD = OC + CD より CD = OD - OC = sOA + tOB - OC

(sOA + tOB - OC)・OA = 0

s|OA|^2 + t(OA・OB) - OC・OA = 0

9s - 9t - (2・1 + (-2)・5 + 1・(-1)) = 0

9s - 9t - (2 - 10 - 1) = 0

9s - 9t + 9 = 0

s - t + 1 = 0

(sOA + tOB - OC)・OB = 0

s(OA・OB) + t|OB|^2 - OC・OB = 0

-9s + 18t - (1・(-4) + 5・1 + (-1)・1) = 0

-9s + 18t - (-4 + 5 - 1) = 0

-9s + 18t = 0

-s + 2t = 0

s = 2t

2t - t + 1 = 0

t = -1

s = -2

OD = -2OA - OB = (-2)(2, -2, 1) - (-4, 1, 1) = (-4, 4, -2) - (-4, 1, 1) = (0, 3, -3)

D(0, 3, -3)

(4)

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{6} |(OA×OB)・OC|$

OA×OB = ((-2)・1 - 1・1, 1・(-4) - 2・1, 2・1 - (-2)・(-4)) = (-3, -6, -6)

(OA×OB)・OC = (-3)・1 + (-6)・5 + (-6)・(-1) = -3 - 30 + 6 = -27

体積 = $\frac{1}{6} |-27| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) |OA|=3, |OB|=3√2, OA・OB=-9, なす角=$\frac{3}{4}\pi$

(2) △OABの面積=$\frac{9}{2}$

(3) Dの座標=(0, 3, -3)

(4) 四面体OABCの体積=$\frac{9}{2}$