地面に垂直に立つ木 PQ と、地面の点 A, B がある。$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$ m である。このとき、木 PQ の高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木 PQ と、地面の点 A, B がある。$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20$ m である。このとき、木 PQ の高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABQ$ において、正弦定理を用いると、

$$\frac{AQ}{\sin \angle ABQ} = \frac{BQ}{\sin \angle BAQ}$$

$\angle ABQ = 60^\circ$, $BQ = 20$ m, $\angle BAQ = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ であるから、

$$\frac{AQ}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\sin 75^\circ}$$

$$AQ = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{10 \sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{40 \sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{40 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}(3-1)} = \frac{40 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{2 \sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{20 (3 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}(3-\sqrt{3})$$

次に、$\triangle PAQ$ において、$PQ = h$ とすると、$\angle PAQ = 30^\circ$ より、

$$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{AQ}$$

$$AQ = \frac{PQ}{\tan 30^\circ} = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = h \sqrt{3}$$

よって、

$$h \sqrt{3} = 10 \sqrt{2} (3 - \sqrt{3})$$

$$h = \frac{10 \sqrt{2} (3 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{2} (3 \sqrt{3} - 3)}{3} = \frac{30 \sqrt{6} - 30 \sqrt{2}}{3} = 10 \sqrt{6} - 10 \sqrt{2} = 10(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

したがって、木 PQ の高さは $10(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ m である。

計算間違いを防ぐため、$\sin 75^\circ$ を別の形で計算する。

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、最初に計算した$\sin 75^\circ$は正しい。

$$AQ = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{10 \sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{40 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

$$AQ = \frac{40 \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{40 \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 10 \sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 10(\sqrt{18} - \sqrt{6}) = 10(3\sqrt{2} - \sqrt{6})$$

$$h = \frac{AQ}{\sqrt{3}} = \frac{10(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{\sqrt{3}} = 10(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

3. 最終的な答え

木 PQ の高さは $10\sqrt{6}-10\sqrt{2}$ m である。