三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角の大きさ$A$, $C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$b$を求める。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2(2)(1+\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$b^2 = 4 + (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 4(1+\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

$b = \sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて$A$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{\sqrt{2}}{1/2}$

$\sin A = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 45^\circ$ または $A = 135^\circ$

もし$A = 135^\circ$ならば、

$A + B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ$

$C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

もし$A = 45^\circ$ならば、

$A + B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$

$C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$c>a$ なので$C>A$である。

$c=1+\sqrt{3} \approx 2.73$, $a=2$

$105^\circ > 45^\circ$ なので、$A=45^\circ$、$C=105^\circ$が正しい。

3. 最終的な答え

$b=\sqrt{2}$

$A=45$

$C=105$