三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$である。 角Cの角度と、内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$である。

角Cの角度と、内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Cを求める。

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

この式に、$a=3$, $b=5$, $c=7$を代入する。

$\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2\cdot 3 \cdot 5}$

$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30}$

$\cos C = \frac{-15}{30}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^\circ$

次に、三角形の面積を求める。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

内接円の半径を$r$とすると、三角形の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$で表される。

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(3+5+7)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}r(15)$

$\frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15}{2}r$

$r = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

角Cの角度は、$120^\circ$

内接円の半径は、$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ソタチ = 120

ツ = 3

テ = 2