原点O、点P($\cos \theta, \sin \theta$) (ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) がある座標平面上に、点Pを通り傾きが$-\frac{3}{4}$である直線とx軸の交点をQとする。 (1) Qのx座標を求める。 (2) 三角形OPQの面積Sを求める。 (3) $\theta$が$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

原点O、点P($\cos \theta, \sin \theta$) (ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) がある座標平面上に、点Pを通り傾きが$-\frac{3}{4}$である直線とx軸の交点をQとする。

(1) Qのx座標を求める。

(2) 三角形OPQの面積Sを求める。

(3) $\theta$が$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲を変化するとき、Sの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) Qのx座標を求める。

点P($\cos \theta, \sin \theta$)を通り、傾きが$-\frac{3}{4}$である直線の方程式は、

$y - \sin \theta = -\frac{3}{4}(x - \cos \theta)$

この直線とx軸の交点Qは、$y=0$のときのx座標なので、

$0 - \sin \theta = -\frac{3}{4}(x - \cos \theta)$

$\sin \theta = \frac{3}{4}(x - \cos \theta)$

$\frac{4}{3} \sin \theta = x - \cos \theta$

$x = \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta$

したがって、Qのx座標は$\cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta$である。

(2) 三角形OPQの面積Sを求める。

点Qのx座標を$x_Q$とおくと、$x_Q = \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta$である。

三角形OPQの面積Sは、$\frac{1}{2} \times |x_Q| \times |y_P|$で求められる。

$S = \frac{1}{2} \times | \cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta | \times | \sin \theta |$

ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$なので、$\cos \theta > 0$かつ$\sin \theta > 0$であり、$\cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta > 0$が成り立つ。

よって、$S = \frac{1}{2} (\cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta) \sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta \sin \theta + \frac{2}{3} \sin^2 \theta$

$S = \frac{1}{4} \sin 2\theta + \frac{2}{3} \sin^2 \theta$

$S = \frac{1}{4} \sin 2\theta + \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{1}{4} \sin 2\theta + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cos 2\theta$

$S = \frac{1}{4} \sin 2\theta - \frac{1}{3} \cos 2\theta + \frac{1}{3}$

(3) Sの最大値を求める。

$S = \frac{1}{4} \sin 2\theta - \frac{1}{3} \cos 2\theta + \frac{1}{3}$

三角関数の合成を行う。

$S = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{3})^2} \sin(2\theta + \alpha) + \frac{1}{3}$

ここで、$\tan \alpha = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = -\frac{4}{3}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{9}} \sin(2\theta + \alpha) + \frac{1}{3} = \sqrt{\frac{9+16}{144}} \sin(2\theta + \alpha) + \frac{1}{3} = \frac{5}{12} \sin(2\theta + \alpha) + \frac{1}{3}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$なので、$0 < 2\theta < \pi$

$2\theta + \alpha$の範囲は$(\alpha, \pi + \alpha)$であり、$\sin(2\theta + \alpha)$の最大値は1となる。

したがって、Sの最大値は$\frac{5}{12} + \frac{1}{3} = \frac{5+4}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta + \frac{4}{3} \sin \theta$

(2) $\frac{1}{4} \sin 2\theta - \frac{1}{3} \cos 2\theta + \frac{1}{3}$

(3) $\frac{3}{4}$