半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB=5$, $BC=CD=2$, $AD=4$ である。このとき、$AC$ の長さと $R$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径 $R$ の円に内接する四角形 $ABCD$ があり、$AB=5$, $BC=CD=2$, $AD=4$ である。このとき、$AC$ の長さと $R$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$AC$ の長さを求める。三角形 $ABC$ と三角形 $ADC$ で余弦定理を用いる。

$\angle ABC = \theta$ とおくと、四角形 $ABCD$ が円に内接するので $\angle ADC = 180^\circ - \theta$ となる。

三角形 $ABC$ において、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 29 - 20 \cos \theta$ ...(1)

三角形 $ADC$ において、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 20 - 16 (-\cos \theta) = 20 + 16 \cos \theta$ ...(2)

(1)と(2)より、

$29 - 20 \cos \theta = 20 + 16 \cos \theta$

$9 = 36 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

これを(1)に代入して、

$AC^2 = 29 - 20 \cdot \frac{1}{4} = 29 - 5 = 24$

$AC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(2) 次に、$R$ の値を求める。正弦定理を用いる。

三角形 $ABC$ において、$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin \theta} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{90}}{15} = \frac{8\sqrt{9 \cdot 10}}{15} = \frac{8 \cdot 3 \sqrt{10}}{15} = \frac{24\sqrt{10}}{15} = \frac{8\sqrt{10}}{5}$

$R = \frac{4\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 2\sqrt{6}$

(2) $R = \frac{4\sqrt{10}}{5}$