問題は、三角比に関する4つの小問から構成されています。 (1) 直角三角形が与えられたとき、$\sin{\theta}$、$\cos{\theta}$、$\tan{\theta}$の値を求める。 (2) $\theta$が鈍角で$\cos{\theta}$の値が与えられたとき、$\sin{\theta}$、$\tan{\theta}$の値を求める。 (3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$の範囲で、$\sin{\theta}$、$\tan{\theta}$の値が与えられたとき、$\theta$の値を求める。 (4) $\sin{115^\circ}$を、鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

問題は、三角比に関する4つの小問から構成されています。

(1) 直角三角形が与えられたとき、$\sin{\theta}$、$\cos{\theta}$、$\tan{\theta}$の値を求める。

(2) $\theta$が鈍角で$\cos{\theta}$の値が与えられたとき、$\sin{\theta}$、$\tan{\theta}$の値を求める。

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$の範囲で、$\sin{\theta}$、$\tan{\theta}$の値が与えられたとき、$\theta$の値を求める。

(4) $\sin{115^\circ}$を、鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

(1) 直角三角形ABCにおいて、$AB=1$, $BC=\sqrt{2}$なので、ピタゴラスの定理より、$AC = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$。

$\sin{\theta} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos{\theta} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan{\theta} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\cos{\theta} = -\frac{3}{4}$であり、$\theta$は鈍角であるから、$\sin{\theta} > 0$。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、$\sin^2{\theta} = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$。

よって、$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$。

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$。

(3) (1) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$\theta$は、$\theta = 60^\circ$または$\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

(2) $\tan{\theta} = -1$を満たす$\theta$は、$\theta = 135^\circ$。

(4) $\sin{115^\circ} = \sin{(180^\circ - 115^\circ)} = \sin{65^\circ}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$、$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{6}}{3}$、$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin{\theta} = \frac{\sqrt{7}}{4}$、$\tan{\theta} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

(3) (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$、(2) $\theta = 135^\circ$

(4) $\sin{115^\circ} = \sin{65^\circ}$