ベクトル $A = (2, 4, 5)$ と $B = (1, -3, 2)$ が与えられています。 (1) ベクトル $B$ に対応する単位ベクトルを求めます。 (2) ベクトル $A$ と $B$ の間の角度 $\theta$ を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $A = (2, 4, 5)$ と $B = (1, -3, 2)$ が与えられています。

(1) ベクトル $B$ に対応する単位ベクトルを求めます。

(2) ベクトル $A$ と $B$ の間の角度 $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $B$ に対応する単位ベクトルの求め方

ベクトル $B$ の単位ベクトルを求めるには、まずベクトル $B$ の大きさを計算します。ベクトル $B$ の大きさは $|B| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2}$ で求められます。

次に、ベクトル $B$ をその大きさで割ることで、単位ベクトルを求めます。

$|B| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

単位ベクトルは $\frac{B}{|B|} = \frac{(1, -3, 2)}{\sqrt{14}} = (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}})$ となります。

(2) ベクトル $A$ と $B$ の間の角度 $\theta$ の求め方

ベクトル $A$ と $B$ の内積 $A \cdot B$ は、$A \cdot B = |A||B| \cos{\theta}$ で表されます。

したがって、$\cos{\theta} = \frac{A \cdot B}{|A||B|}$ となり、$\theta = \cos^{-1}(\frac{A \cdot B}{|A||B|})$ で角度 $\theta$ を求めることができます。

まず、$A \cdot B$ を計算します。

$A \cdot B = (2)(1) + (4)(-3) + (5)(2) = 2 - 12 + 10 = 0$

次に、$|A|$ を計算します。

$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$|B|$ はすでに計算済みで、 $|B| = \sqrt{14}$ です。

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{0}{(3\sqrt{5})(\sqrt{14})} = 0$

$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ （または 90度）

3. 最終的な答え

(1) ベクトル $B$ に対応する単位ベクトル: $(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}})$

(2) ベクトル $A$ と $B$ の間の角度 $\theta$: $\frac{\pi}{2}$ （または 90度）