三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{AR}$、$\overrightarrow{AS}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。 (3) $\triangle ABC$ の面積は $\triangle RBS$ の面積の何倍かを答えよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:3に内分する点をP、辺ACを1:4に内分する点をQとする。線分BQとCPの交点をR、直線ARと辺BCの交点をSとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$、$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{AR}$、$\overrightarrow{AS}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表せ。

(3) $\triangle ABC$ の面積は $\triangle RBS$ の面積の何倍かを答えよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AQ}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。

点Pは辺ABを1:3に内分するので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}\vec{a}$

点Qは辺ACを1:4に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{AR}$、$\overrightarrow{AS}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。

まず、点Rは線分BQとCPの交点なので、実数s, tを用いて

$\overrightarrow{AR} = (1-s)\overrightarrow{AP} + s\overrightarrow{AC} = (1-s)\frac{1}{4}\vec{a} + s\vec{b}$

$\overrightarrow{AR} = (1-t)\overrightarrow{AQ} + t\overrightarrow{AB} = (1-t)\frac{1}{5}\vec{b} + t\vec{a}$

$\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{1-s}{4} = t$

$s = \frac{1-t}{5}$

これを解くと、

$\frac{1-s}{4} = t$ より $1-s=4t$

$s = \frac{1-t}{5}$ より $5s = 1-t$

$5(1-4t)=1-t$

$5-20t = 1-t$

$4 = 19t$

$t = \frac{4}{19}$

$s = \frac{1-\frac{4}{19}}{5} = \frac{15}{19} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{19}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{4}(1-\frac{3}{19})\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b} = \frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b}$

次に、点Sは直線AR上にあるので、実数kを用いて

$\overrightarrow{AS} = k\overrightarrow{AR} = k(\frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b})$

また、点Sは直線BC上にあるので、実数lを用いて

$\overrightarrow{AS} = (1-l)\overrightarrow{AB} + l\overrightarrow{AC} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$、$\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{4}{19}k = 1-l$

$\frac{3}{19}k = l$

$\frac{4}{19}k + \frac{3}{19}k = 1$

$\frac{7}{19}k = 1$

$k = \frac{19}{7}$

$\overrightarrow{AS} = \frac{19}{7} \times (\frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b}) = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

(3) $\triangle ABC$ の面積は $\triangle RBS$ の面積の何倍かを答える。

$\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b} - \vec{a} = -\frac{3}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b} = \frac{3}{7}(-\vec{a}+\vec{b}) = \frac{3}{7}\overrightarrow{BA} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{7} \overrightarrow{BC}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |\overrightarrow{RB} \times \overrightarrow{RS}|$

$\overrightarrow{RB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AR} = \vec{a} - (\frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b}) = \frac{15}{19}\vec{a} - \frac{3}{19}\vec{b}$

$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AR} = (\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}) - (\frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b}) = (\frac{4}{7}-\frac{4}{19})\vec{a} + (\frac{3}{7}-\frac{3}{19})\vec{b} = \frac{4(19-7)}{7 \times 19}\vec{a} + \frac{3(19-7)}{7 \times 19}\vec{b} = \frac{4 \times 12}{7 \times 19}\vec{a} + \frac{3 \times 12}{7 \times 19}\vec{b} = \frac{48}{133}\vec{a} + \frac{36}{133}\vec{b}$

$\overrightarrow{RB} \times \overrightarrow{RS} = (\frac{15}{19}\vec{a} - \frac{3}{19}\vec{b}) \times (\frac{48}{133}\vec{a} + \frac{36}{133}\vec{b}) = \frac{15}{19} \times \frac{36}{133} (\vec{a} \times \vec{b}) - \frac{3}{19} \times \frac{48}{133} (\vec{b} \times \vec{a}) = (\frac{540}{2527} + \frac{144}{2527}) (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{684}{2527}(\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{36}{133}(\vec{a} \times \vec{b})$

$\triangle RBS = \frac{1}{2} |\frac{36}{133}(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{18}{133}|\vec{a} \times \vec{b}|$

したがって、

$\frac{\triangle ABC}{\triangle RBS} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|}{\frac{18}{133} |\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{133}{36} = \frac{19 \times 7}{4 \times 9} = \frac{133}{36}$倍

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\vec{a}$、$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{5}\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{AR} = \frac{4}{19}\vec{a} + \frac{3}{19}\vec{b}$、$\overrightarrow{AS} = \frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}$

(3) $\frac{133}{36}$倍