点A(4, 6), B(-6, 1), C(2, -3) が与えられている。 (1) 直線BCの傾きを求める。 (2) 点Pをy軸上にとるとき、三角形ABCと三角形PBCの面積が等しくなるような点Pの座標をすべて求める。

1. 問題の内容

点A(4, 6), B(-6, 1), C(2, -3) が与えられている。

(1) 直線BCの傾きを求める。

(2) 点Pをy軸上にとるとき、三角形ABCと三角形PBCの面積が等しくなるような点Pの座標をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの傾きを求める。

点の座標 B(-6, 1), C(2, -3) を用いて、傾き $m$ は以下の式で計算できる。

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

ここで、$(x_1, y_1) = (-6, 1)$ , $(x_2, y_2) = (2, -3)$ なので、

$m = \frac{-3 - 1}{2 - (-6)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

(2) 点Pの座標を求める。

点Pはy軸上にあるので、P(0, p) とおく。

三角形ABCの面積を求める。A(4, 6), B(-6, 1), C(2, -3)

三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(4 - 2)(1 - 6) - (4 - (-6))(-3 - 6)|$

$S = \frac{1}{2} |2(-5) - (10)(-9)|$

$S = \frac{1}{2} |-10 + 90| = \frac{1}{2} |80| = 40$

三角形PBCの面積を求める。P(0, p), B(-6, 1), C(2, -3)

三角形の面積の公式より、

$S' = \frac{1}{2} |(x_P - x_C)(y_B - y_P) - (x_P - x_B)(y_C - y_P)|$

$S' = \frac{1}{2} |(0 - 2)(1 - p) - (0 - (-6))(-3 - p)|$

$S' = \frac{1}{2} |-2(1 - p) - 6(-3 - p)|$

$S' = \frac{1}{2} |-2 + 2p + 18 + 6p|$

$S' = \frac{1}{2} |8p + 16|$

$S' = |4p + 8|$

三角形ABCと三角形PBCの面積が等しいので、

$|4p + 8| = 40$

$4p + 8 = 40$ または $4p + 8 = -40$

$4p = 32$ または $4p = -48$

$p = 8$ または $p = -12$

したがって、点Pの座標は (0, 8) と (0, -12)

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2}$

(2) (0, 8), (0, -12)