問題は3つあります。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB=4, A=75^{\circ}, B=60^{\circ}$ のとき、$CA$ と外接円の半径 $R$ を求めよ。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB=3, BC=\sqrt{7}, CA=2$ のとき、$\angle A$ を求めよ。 (7) $\triangle ABC$ において、$AB=8, BC=3\sqrt{3}, B=135^{\circ}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB=4, A=75^{\circ}, B=60^{\circ}$ のとき、$CA$ と外接円の半径 $R$ を求めよ。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB=3, BC=\sqrt{7}, CA=2$ のとき、$\angle A$ を求めよ。

(7) $\triangle ABC$ において、$AB=8, BC=3\sqrt{3}, B=135^{\circ}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(5)

まず、$\angle C$ を求めます。三角形の内角の和は$180^{\circ}$ なので、

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$

正弦定理より、

$\frac{CA}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

外接円の半径 $R$ について、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{4}{2 \sin 45^{\circ}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

(6)

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

よって、$A = 60^{\circ}$

(7)

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(5) $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

(6) $A = 60^{\circ}$

(7) $S = 6\sqrt{6}$