座標平面上に3点A(-4, -5), B(4, -1), C(-2, 4)がある。 (1) y軸上に点Pをとり、$\triangle ABC = \triangle ABP$ となるようにする。点Pの座標をすべて求めよ。 (2) y軸上に点Qをとり、$\frac{1}{2} \times \triangle ABC = \triangle ABQ$ となるようにする。点Qの座標をすべて求めよ。 (3) y軸上に点Rをとり、$2 \times \triangle ABC = \triangle ABR$ となるようにする。点Rの座標をすべて求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(-4, -5), B(4, -1), C(-2, 4)がある。

(1) y軸上に点Pをとり、$\triangle ABC = \triangle ABP$ となるようにする。点Pの座標をすべて求めよ。

(2) y軸上に点Qをとり、$\frac{1}{2} \times \triangle ABC = \triangle ABQ$ となるようにする。点Qの座標をすべて求めよ。

(3) y軸上に点Rをとり、$2 \times \triangle ABC = \triangle ABR$ となるようにする。点Rの座標をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ の面積を計算します。これは、ベクトルを使って求めることができます。$\vec{AB} = (4 - (-4), -1 - (-5)) = (8, 4)$、$\vec{AC} = (-2 - (-4), 4 - (-5)) = (2, 9)$なので、$\triangle ABC$ の面積は、

$S = \frac{1}{2} |8 \times 9 - 4 \times 2| = \frac{1}{2} |72 - 8| = \frac{1}{2} \times 64 = 32$

(1) 点Pはy軸上にあるので、P(0, p) と表せる。$\triangle ABP$ の面積は、$\vec{AB} = (8, 4)$、$\vec{AP} = (0 - (-4), p - (-5)) = (4, p + 5)$なので、$\triangle ABP$ の面積は、

$\frac{1}{2} |8(p + 5) - 4 \times 4| = \frac{1}{2} |8p + 40 - 16| = \frac{1}{2} |8p + 24| = |4p + 12|$

これが $\triangle ABC$ の面積32に等しくなればよいので、

$|4p + 12| = 32$

$4p + 12 = 32$ または $4p + 12 = -32$

$4p = 20$ または $4p = -44$

$p = 5$ または $p = -11$

よって、Pの座標は(0, 5)と(0, -11)

(2) 点Qはy軸上にあるので、Q(0, q) と表せる。$\triangle ABQ$ の面積は、$\vec{AB} = (8, 4)$、$\vec{AQ} = (0 - (-4), q - (-5)) = (4, q + 5)$なので、$\triangle ABQ$ の面積は、

$\frac{1}{2} |8(q + 5) - 4 \times 4| = |4q + 12|$。

$\triangle ABQ$ の面積は $\frac{1}{2} \times \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 32 = 16$なので、

$|4q + 12| = 16$

$4q + 12 = 16$ または $4q + 12 = -16$

$4q = 4$ または $4q = -28$

$q = 1$ または $q = -7$

よって、Qの座標は(0, 1)と(0, -7)

(3) 点Rはy軸上にあるので、R(0, r) と表せる。$\triangle ABR$ の面積は、$\vec{AB} = (8, 4)$、$\vec{AR} = (0 - (-4), r - (-5)) = (4, r + 5)$なので、$\triangle ABR$ の面積は、

$\frac{1}{2} |8(r + 5) - 4 \times 4| = |4r + 12|$

$\triangle ABR$ の面積は $2 \times \triangle ABC = 2 \times 32 = 64$なので、

$|4r + 12| = 64$

$4r + 12 = 64$ または $4r + 12 = -64$

$4r = 52$ または $4r = -76$

$r = 13$ または $r = -19$

よって、Rの座標は(0, 13)と(0, -19)

3. 最終的な答え

(1) Pの座標は (0, 5), (0, -11)

(2) Qの座標は (0, 1), (0, -7)

(3) Rの座標は (0, 13), (0, -19)