問題は3つの小問から構成されています。 (1) $\triangle ABC$ において、$AB=4, BC=5, CA=6$であるとき、$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$、$\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とします。$BE$と$DE$の値を求めます。 (2) 四角形 $ABCD$ は平行四辺形であり、対角線の交点を $O$、辺 $BC$ の中点を $E$、線分 $AE$ と $BD$ の交点を $F$ とします。$AF:FE$ と $\triangle AFO: \square ABCD$ を求めます。 (3) 以下の図において、$x, y$ の値を求めます。 (1) 点 $O$ は $\triangle ABC$ の外心です。 (2) 点 $I$ は $\triangle ABC$ の内心です。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=4, BC=5, CA=6$であるとき、$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$、$\angle BAC$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とします。$BE$と$DE$の値を求めます。

(2) 四角形 $ABCD$ は平行四辺形であり、対角線の交点を $O$、辺 $BC$ の中点を $E$、線分 $AE$ と $BD$ の交点を $F$ とします。$AF:FE$ と $\triangle AFO: \square ABCD$ を求めます。

(3) 以下の図において、$x, y$ の値を求めます。

(1) 点 $O$ は $\triangle ABC$ の外心です。

(2) 点 $I$ は $\triangle ABC$ の内心です。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質と外角の二等分線の性質を利用します。

角の二等分線の性質より、

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$BD = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$

外角の二等分線の性質より、

$\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$CE = BC + BE$なので、

$\frac{BE}{BC+BE} = \frac{2}{3}$

$3BE = 2(BC + BE) = 2(5 + BE)$

$3BE = 10 + 2BE$

$BE = 10$

$DE = BD + BE = 2 + 10 = 12$

(2) 平行四辺形の性質と三角形の相似を利用します。

$BC=AD$ で、$E$は$BC$の中点なので、$BE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AD$

$\triangle BEF$ と $\triangle DAF$ において、

$\angle BFE = \angle DFA$ (対頂角)

$\angle EBF = \angle ADF$ (平行線の錯角)

よって、$\triangle BEF \sim \triangle DAF$

したがって、

$\frac{AF}{FE} = \frac{AD}{BE} = \frac{AD}{\frac{1}{2} AD} = 2$

$AF:FE = 2:1$

$\triangle AFO$ の面積は、$AO$ を底辺と考えると高さは $E$ から $AO$ へ下ろした垂線になります。

平行四辺形$ABCD$の面積は、$AC$を底辺と考えると、高さは$B$または$D$から$AC$へ下ろした垂線になります。

$\triangle BEF \sim \triangle DAF$より、$BE:AD = 1:2$なので、$FO:DO = 1:2$, したがって、$BO:OD=1:1$より、$FO:BO:OD = 1:3:3$

したがって$\triangle AFO = \frac{1}{4} \triangle ABD = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \square ABCD) = \frac{1}{8} \square ABCD$

$\triangle AFO : \square ABCD = 1 : 8$

(3) (1) 点 $O$ は $\triangle ABC$ の外心なので、$OA=OB=OC$

したがって、$\angle OBA = \angle OAB = 23^\circ$, $\angle OCA = \angle OAC = 34^\circ$

$x = \angle OBC = \angle OCB$

$\angle ABC = 23^\circ + x, \angle ACB = 34^\circ + x$

$23^\circ + x + 34^\circ + x + y = 180^\circ$

$57^\circ + 2x + y = 180^\circ$

$2x + y = 123^\circ$

また、$y = \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 23^\circ + 34^\circ = 57^\circ$

$2x = 123^\circ - 57^\circ = 66^\circ$

$x = 33^\circ$

(2) 点 $I$ は $\triangle ABC$ の内心なので、$\angle ABI = \angle CBI = 26^\circ$

$\angle ACI = \angle BCI = x$

$\angle BAC = 80^\circ$なので、$\angle BAI = \angle CAI = 40^\circ$

$80^\circ + 2(26^\circ) + 2x = 180^\circ$

$80^\circ + 52^\circ + 2x = 180^\circ$

$132^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 48^\circ$

$x = 24^\circ$

$y = \angle BIC = 180^\circ - (26^\circ + x) = 180^\circ - (26^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $BE = 10$, $DE = 12$

(2) $AF:FE = 2:1$, $\triangle AFO:\square ABCD = 1:8$

(3) (1) $x = 33^\circ$, $y = 57^\circ$

(2) $x = 24^\circ$, $y = 130^\circ$