原点Oを始点とし、放物線 $y=x^2$ 上に2点P, Qをとる。$\angle POQ = 90^\circ$ となるように点P, Qをとるとき、線分PQの中点Rの軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

原点Oを始点とし、放物線 $y=x^2$ 上に2点P, Qをとる。$\angle POQ = 90^\circ$ となるように点P, Qをとるとき、線分PQの中点Rの軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

点P, Qの座標をそれぞれ $P(p, p^2)$, $Q(q, q^2)$とする。

条件より、$\angle POQ = 90^\circ$ であるから、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$が成り立つ。

$\overrightarrow{OP} = (p, p^2)$, $\overrightarrow{OQ} = (q, q^2)$なので、

$p \cdot q + p^2 \cdot q^2 = 0$

$pq(1+pq) = 0$

$pq \neq 0$ より

$pq = -1$

線分PQの中点Rの座標を$(x, y)$とすると、

$x = \frac{p+q}{2}$

$y = \frac{p^2+q^2}{2}$

$p+q = 2x$

$p^2+q^2 = 2y$

$(p+q)^2 = p^2+2pq+q^2$

$(2x)^2 = 2y + 2(-1)$

$4x^2 = 2y - 2$

$2y = 4x^2 + 2$

$y = 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$y=2x^2+1$