問題は3つあります。 * **問題4:** 三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQを求める。 * **問題5:** 四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線をlとするとき、角BCDを求める。 * **問題6:** 次の図においてxの値を求める。 * (1) 直線lは円O, O'の接線 * (2) 直線ABは円の接線

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* **問題4:** 三角形ABCにおいて、辺BCを3:4に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APとBQの交点をRとするとき、AR:RPとBR:RQを求める。

* **問題5:** 四角形ABCDは円に内接しており、点Aにおける円の接線をlとするとき、角BCDを求める。

* **問題6:** 次の図においてxの値を求める。

* (1) 直線lは円O, O'の接線

* (2) 直線ABは円の接線

2. 解き方の手順

* **問題4:** チェバの定理とメネラウスの定理を利用する。

* チェバの定理より、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$ が成り立つ。$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{4}$より$\frac{BC}{BP}=\frac{7}{3}$, $\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{2}$なので、$\frac{AR}{RP}=\frac{7}{3}\cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$、したがって、AR:RP = 5:2

* 次に、メネラウスの定理より、$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$ が成り立つ。$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{4}$, $\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{2}$ なので、$\frac{BR}{RQ} = \frac{17}{9}$、したがって、BR:RQ = 3:1

* **問題5:** 円に内接する四角形の対角の和は180度である。また、接弦定理により、$\angle DAB = 25^\circ$である。

* 四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD$である。

* また、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \angle BAC + 42^\circ$である。

* 接弦定理より、$\angle BAC = 25^\circ$なので、$\angle BAD = 25^\circ + 42^\circ = 67^\circ$である。

* したがって、$\angle BCD = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$である。

* **問題6 (1):** 円O, O'の中心間の距離は6 + x/2。2つの円に外接する接線なので、三平方の定理を使う。

* 中心間の距離の2乗 = (6 - x/2)^2 + 6^2

* $(6 + x/2)^2 = (6-x/2)^2 + 36$

* $36 + 6x + x^2/4 = 36 - 6x + x^2/4 + 36$

* $12x = 36$

* $x = 3$

* **問題6 (2):** 方べきの定理を使う。

* $AB^2 = AD \cdot AC$

* $6^2 = x \cdot 4$

* $36 = 4x$

* $x = 9$

3. 最終的な答え

* **問題4:** AR:RP = 5:2、BR:RQ = 3:1

* **問題5:** $\angle BCD = 113^\circ$

* **問題6 (1):** $x = 3$

* **問題6 (2):** $x = 9$