一辺の長さが5の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、∠AMD = θとする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。 (1) $\cos{\theta}$ を求めよ。 (2) ANの長さを求めよ。 (3) BNの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが5の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとし、∠AMD = θとする。頂点AからMDに下ろした垂線をANとする。

(1) $\cos{\theta}$ を求めよ。

(2) ANの長さを求めよ。

(3) BNの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形AMDについて考える。AMとDMは正三角形ABCとDBCの中線なので、長さは等しく、$AM=DM=\frac{5\sqrt{3}}{2}$となる。MD = AM = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$。

また、AD=5である。

余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cdot \cos{\theta}$

$5^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 - 2 (\frac{5\sqrt{3}}{2}) (\frac{5\sqrt{3}}{2}) \cos{\theta}$

$25 = \frac{75}{4} + \frac{75}{4} - 2(\frac{75}{4}) \cos{\theta}$

$25 = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} \cos{\theta}$

$25 = \frac{75}{2} - \frac{75}{2} \cos{\theta}$

$\frac{75}{2} \cos{\theta} = \frac{75}{2} - 25 = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2}$

$\cos{\theta} = \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{75} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$

(2)

三角形AMDの面積を2通りの方法で求める。

まず、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、$\sin^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (∵ $\theta$は鋭角なので)

三角形AMDの面積 = $\frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot \sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{25\sqrt{2}}{4}$

また、三角形AMDの面積 = $\frac{1}{2} \cdot MD \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot AN = \frac{5\sqrt{3}}{4} AN$

したがって、$\frac{5\sqrt{3}}{4} AN = \frac{25\sqrt{2}}{4}$

$AN = \frac{25\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{4}{5\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

(3)

三角形ANMにおいて、三平方の定理より、

$MN^2 = AM^2 - AN^2 = (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{5\sqrt{6}}{3})^2 = \frac{75}{4} - \frac{150}{9} = \frac{75}{4} - \frac{50}{3} = \frac{225 - 200}{12} = \frac{25}{12}$

$MN = \frac{5}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

BM = $\frac{5}{2}$より、BN = BM - MN = $\frac{5}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{15 - 5\sqrt{3}}{6}$ となることはない。

NはMD上にあるので、BM=MC=2.5, AM=DM=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$となる.

$BN^2 = BM^2+MN^2-2BM \cdot MN \cos \angle BMN$

ここで、Mは辺BCの中点なので、MB=MC=5/2となる。AM=DM= $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.AN= $\frac{5\sqrt{6}}{3}$. 三角形AMNでMNの長さは $MN= \sqrt{AM^2 - AN^2}= \sqrt{ \frac{75}{4} - \frac{150}{9} } = \sqrt{ \frac{25}{12} } = \frac{5}{2\sqrt{3} } = \frac{5\sqrt{3}}{6}$となる。

次に、$\triangle ABN$について、$AB^2 = AN^2 + BN^2 -2AN\cdot BN cos \angle ANB$より$5^2 = (\frac{5\sqrt{6}}{3})^2 + BN^2 - 2 \frac{5\sqrt{6}}{3} BN \cos90$なので $25= \frac{150}{9}+BN^2$　$BN^2 =25- \frac{50}{3} =\frac{25}{3}$. よって$BN=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\theta} = \frac{1}{3}$

(2) $AN = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

(3) $BN = \frac{5\sqrt{3}}{3}$