## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つのベクトルに関する問題です。

1. 線分ABの中点Mの位置ベクトル $\overrightarrow{OM}$ を、位置ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

2. 三角形ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ を、位置ベクトル $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。

3. 三角形ABCの重心Gについて、ベクトル $\overrightarrow{AG}$ を、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表す。

4. 三角形ABCにおいて、ABを1:2に内分する点をL、BCの中点をM、CAを1:2に内分する点をNとする。三角形LMNの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ を、位置ベクトル $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ を用いて表す。

## 解き方の手順

**(1) 線分ABの中点Mの位置ベクトル $\overrightarrow{OM}$ を求める**

* Mは線分ABの中点なので、

$$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$$

**(2) 三角形ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ を求める**

* 重心Gは、各頂点からの位置ベクトルの平均なので、

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$$

**(3) ベクトル $\overrightarrow{AG}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表す**

* $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA}$であり、(2)の結果から、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} - \overrightarrow{OA}$$

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}}{3}$$

* $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$なので、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA}$を代入すると、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OA}) - 2\overrightarrow{OA}}{3}$$

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$$

**(4) $\overrightarrow{OG}$ を $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ を用いて表す**

* まず、点L、M、Nの位置ベクトルを求めます。

* LはABを1:2に内分するので、

$$\overrightarrow{OL} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3}$$

* MはBCの中点なので、

$$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2}$$

* NはCAを1:2に内分するので、

$$\overrightarrow{ON} = \frac{2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{3}$$

* 三角形LMNの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{OG}$ は、

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}}{3}$$

* $\overrightarrow{OL}$、$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3} + \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \frac{2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{3}}{3}$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{3} + \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \frac{2\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}}{3}}{3} = \frac{1}{3} (\frac{2\overrightarrow{OA}}{3} + \frac{\overrightarrow{OB}}{3} + \frac{\overrightarrow{OB}}{2} + \frac{\overrightarrow{OC}}{2} + \frac{2\overrightarrow{OC}}{3} + \frac{\overrightarrow{OA}}{3}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \frac{5}{6}\overrightarrow{OB} + \frac{7}{6}\overrightarrow{OC})$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{6\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC}}{18}$$

## 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$

(2) $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$

(3) $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$

(4) $\overrightarrow{OG} = \frac{6\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 7\overrightarrow{OC}}{18}$