一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとするとき、以下のものを求める問題です。 (1) $\sin \angle OMC$ (2) 三角形OMCの面積S (3) 正四面体OABCの体積V

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとするとき、以下のものを求める問題です。

(1) $\sin \angle OMC$

(2) 三角形OMCの面積S

(3) 正四面体OABCの体積V

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle OMC$を求める

まず、$\triangle OMA$と$\triangle CMB$において、$OM = CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$OC = 1$なので、$\triangle OMC$において余弦定理を用いると、

$OC^2 = OM^2 + CM^2 - 2 \cdot OM \cdot CM \cdot \cos \angle OMC$

$1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos \angle OMC$

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos \angle OMC$

$\frac{3}{2} \cos \angle OMC = \frac{1}{2}$

$\cos \angle OMC = \frac{1}{3}$

$\sin^2 \angle OMC + \cos^2 \angle OMC = 1$より

$\sin^2 \angle OMC = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \angle OMC = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) 三角形OMCの面積Sを求める

$S = \frac{1}{2} OM \cdot CM \cdot \sin \angle OMC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) 正四面体OABCの体積Vを求める

正四面体の高さは、底面ABCの中心をHとすると、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2}$。

$AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$OH = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

体積Vは、$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle ABCの面積) \cdot OH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{36} = \frac{3\sqrt{2}}{36} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle OMC = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $S = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $V = \frac{\sqrt{2}}{12}$