集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ で表すとき、以下の2つの式を証明します。 (1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

1. 問題の内容

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ で表すとき、以下の2つの式を証明します。

(1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

2. 解き方の手順

(1) について

$A \cup B$ の要素の個数を数えるとき、まず $n(A)$ と $n(B)$ を足し合わせます。しかし、$A \cap B$ の要素は $n(A)$ と $n(B)$ の両方に含まれているため、2回数えられてしまいます。したがって、$n(A \cap B)$ を引くことで、重複を解消する必要があります。よって、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

が成り立ちます。

(2) について

$A \cup B \cup C$ の要素の個数を数えるとき、まず $n(A)$, $n(B)$, $n(C)$ を足し合わせます。しかし、$A \cap B$, $B \cap C$, $C \cap A$ の要素はそれぞれ2回数えられてしまうため、これらの要素の個数を引きます。つまり、

$n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A)$

を計算します。

このとき、$A \cap B \cap C$ の要素は、$n(A)$, $n(B)$, $n(C)$ で3回数えられ、$n(A \cap B)$, $n(B \cap C)$, $n(C \cap A)$ で3回引かれるため、結果的に1度も数えられていません。したがって、$n(A \cap B \cap C)$ を足し合わせることで、正確な要素の個数が得られます。よって、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$