(1) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合のうち、集合 $\{1, 2\}$ を含む部分集合の個数を求めます。 (2) 全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A \cup B} = \{6\}$, $A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} = \{3, 5, 6\}$ であるとき、$A$ と $B$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合のうち、集合 $\{1, 2\}$ を含む部分集合の個数を求めます。

(2) 全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A \cup B} = \{6\}$, $A \cap B = \{1, 2\}$, $\overline{A} = \{3, 5, 6\}$ であるとき、$A$ と $B$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $\{1, 2\}$ を含む $U$ の部分集合は、$\{1, 2\}$ に $U$ の残りの要素 $\{3, 4, 5, 6\}$ の部分集合を付け加えたものとなります。$\{3, 4, 5, 6\}$ の部分集合の個数は $2^4 = 16$ 個なので、$\{1, 2\}$ を含む $U$ の部分集合も 16 個です。

(2)

* $\overline{A} = \{3, 5, 6\}$ より、$A = U - \overline{A} = \{1, 2, 4\}$ となります。

* $A \cap B = \{1, 2\}$ より、$1 \in B$ かつ $2 \in B$ です。

* $\overline{A \cup B} = \{6\}$ より、$A \cup B = U - \{6\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ です。

* $A \cup B = \{1, 2, 4\} \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ より、$3 \in B$ かつ $5 \in B$ が必要です。

* また、$A = \{1, 2, 4\}$ より、$4 \notin B$ です。（$A \cap B$に含まれないため）

* よって、$B = \{1, 2, 3, 5\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 16 個

(2) $A = \{1, 2, 4\}$, $B = \{1, 2, 3, 5\}$