右の図において、線分BPと線分PCの比 ($BP:PC$) を求めよ。ただし、図には $AR=AQ$, $BR=BO$, $CO=CQ$, $AB=4$, $AC=3$, $BR=2$, $CQ=2$という情報が与えられている。

1. 問題の内容

右の図において、線分BPと線分PCの比 ($BP:PC$) を求めよ。ただし、図には $AR=AQ$, $BR=BO$, $CO=CQ$, $AB=4$, $AC=3$, $BR=2$, $CQ=2$という情報が与えられている。

2. 解き方の手順

点Aから辺BCに、点Bから辺CAに、点Cから辺ABにチェバの定理を適用する。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である。

問題文より、$AR = AQ$, $BR = BO$, $CO = CQ$である。

また、$AR = AQ$なので、$QA = AR$.

$RB = BR = 2$

$CQ = 2$

$AQ = AR$.

$AR = AB+BR = 4+2 = 6$

したがって、$AQ = 6$.

これらを代入すると、

$\frac{6}{2} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{6} = 1$

$3 \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BP}{PC} = 1$

3. 最終的な答え

$BP:PC = 1:1$