## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

水槽の側面に設置された長方形の板に作用する水圧について、以下の値を求める問題です。

1. 長方形部分の重心Gにおける水圧 $p_G$ の値を求める。

2. 長方形部分全域に作用する力の総和となる全圧力 $P$ の値を求める。

3. 長方形部分の重心Gを通り $x$ 軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_x$ および $y$ 軸に対する慣性モーメント $I_y$ を求める。

4. 水圧による全圧力 $P$ が作用する長方形部分の圧力中心Cの位置について、水面からの深さ $z_C$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

#### (1) 重心Gにおける水圧 $p_G$ の計算

* 長方形の重心Gは、板の中心に位置します。したがって、水面からの深さ $z_G$ は次のようになります。

$z_G = h + \frac{a}{2}$

* 水圧は、深さに比例します。したがって、重心Gにおける水圧 $p_G$ は次のようになります。

$p_G = \rho g z_G = \rho g (h + \frac{a}{2})$

#### (2) 全圧力 $P$ の計算

* 全圧力は、水圧を長方形の面積で積分することで求められます。しかし、水圧が深さに比例することを利用して、重心における水圧に面積を掛けることでも求められます。

$P = p_G A = p_G (ab)$

ここで $A$ は長方形の面積、$a$ は高さ、$b$ は幅です。

#### (3) 慣性モーメント $I_x$ および $I_y$ の計算

* 重心Gを通り $x$ 軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_x$ は、以下の式で求められます。

$I_x = \frac{1}{12} b a^3$

* 重心Gを通り $y$ 軸と平行な軸に対する慣性モーメント $I_y$ は、以下の式で求められます。

$I_y = \frac{1}{12} a b^3$

#### (4) 圧力中心Cの深さ $z_C$ の計算

* 圧力中心Cの深さ $z_C$ は、次の式で求められます。

$z_C = z_G + \frac{I_x}{A z_G}$

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3. 最終的な答え

具体的な数値は代入して計算してください。

1. 重心Gにおける水圧 $p_G = \rho g (h + \frac{a}{2})$

2. 全圧力 $P = \rho g (h + \frac{a}{2}) (ab)$

3. 慣性モーメント $I_x = \frac{1}{12} b a^3$ 、 $I_y = \frac{1}{12} a b^3$

4. 圧力中心Cの深さ $z_C = (h + \frac{a}{2}) + \frac{\frac{1}{12} b a^3}{ab(h + \frac{a}{2})}$