問題は、与えられた不等式 $ \frac{l}{v_0 \cos \theta} < \frac{v_0}{g} \sin \theta $ から $v_0$ に関する条件を導き、最終的に $ v_0 > \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}} $ を示すことです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式 $\frac{l}{v_0 \cos \theta} < \frac{v_0}{g} \sin \theta$ から $v_0$ に関する条件を導き、最終的に $v_0 > \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}}$ を示すことです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $\frac{l}{v_0 \cos \theta} < \frac{v_0}{g} \sin \theta$ を変形して、$v_0$ に関する不等式を求めます。

ステップ1: 不等式を変形します。

$\frac{l}{v_0 \cos \theta} < \frac{v_0 \sin \theta}{g}$

ステップ2: $v_0$ について整理します。両辺に $v_0 \cos \theta$ と $g$ をかけます。

$l g < v_0^2 \sin \theta \cos \theta$

ステップ3: $v_0^2$ について解きます。

$v_0^2 > \frac{gl}{\sin \theta \cos \theta}$

ステップ4: $v_0$ について解きます。

$v_0 > \sqrt{\frac{gl}{\sin \theta \cos \theta}}$

ステップ5: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ の関係を使って、分母を $\sin 2\theta$ に書き換えます。

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$

ステップ6: ステップ4の結果にステップ5の結果を代入します。

$v_0 > \sqrt{\frac{gl}{\frac{1}{2}\sin 2\theta}}$

$v_0 > \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}}$

3. 最終的な答え

$v_0 > \sqrt{\frac{2gl}{\sin 2\theta}}$